Глава 5 математическое описание и оптимизация процесса измельчния рецептурной смеси сахара и какао продуктов при производстве шоколадных масс электромагнитным способом
Наиболее полное математическое описание процессов измельчения твердых тел осуществляется в настоящее время методом экспериментально-статистических исследований. Ценность экспериментально-статистических моделей процесса, полученных на основе этого метода, заключается в том, что они, во-первых, дают информацию о влиянии факторов; во-вторых, позволяют количественно определить значения функций отклика при заданных режимах работы ведения процесса; и, в-третьих, могут служить основой для оптимизации. Целью математического описания процесса диспергирования рецептурной смеси сахара и какао электромагнитным способом являлось построение интерполяционной формулы, подтверждающей теоретические положения способа создания диспергирующего усилия с применением постоянного по знаку и регулируемого по величине электромагнитного поля, а также установление режимов работы устройства, при которых достигается оптимальное силовое воздействие и стандартизованная величина степени измельчения шоколадной массы с высокой однородностью ее гранулометрического состава.
Для описания исследуемого процесса была применена линейная модель - алгебраический полином 1-й степени.
, (5.1)
гдеY - выходной параметр процесса, в данном случае степеньизмельчения шоколадных масс,%
X1, Х2 ,… Хi - независимые переменные, факторы,определяющие ход процесса.
Определение коэффициентов полинома (5.1) производится в результате факторного эксперимента, сущность которого состоит в одновременном варьировании определяющих факторов по разработанному плану.
Опыт работы кондитерских предприятий, результаты научных исследований, а также проведенные в работе эксперименты показали, что на процесс измельчения шоколадных масс может оказывать влияние большое количество факторов механического и технологического характера. Наличие большого количества управляемых факторов усложняет получение основных закономерностей изучаемого процесса и требует критического подхода к исследованию их влияния на процесс диспергирования в ЭММА. Выбор существенных факторов при математическом моделировании определяется постанов-кой задачи, условиями проведения эксперимента, а также состоянием теоретических предпосылок в этой области. Анализ влияющих факторов показал, что часть из них принимается строго определенной, исходя из конструктивно-технологических соображений и на основании предварительной информации. Так фиксированными механическими факторами являются: материал и размер рабочей камеры, форма, размер и материал мелющих тел, коэффициент заполнения рабочего объема обрабатываемым продуктом (главы 2, 3). В качестве фиксированых технологических факторов установлены: соотношение рецептурныхкомпонентов, содержание жира, начальный размер частиц смеси.
Представление о роли различных факторов, а также оценки "силы их влияния", полученной на основании предварительных экспериментов, позволили выделить три основных фактора, влияющих на процесс диспергирования шоколадных масс в ЭММА: индукция в рабочем объемеВ0 , частота вращения внутреннего цилиндра n, коэффициент заполнения рабочего объема мелющими телами Крэ.Таким образом, необходимо исследовать зависимость
. (5.2)
Априори определенное факторное пространство представлено в таблице 5.1.
Матрица планирования и результаты экспериментов на этих уровнях представлены в таблице 5.2.
Таблица 5.1
Наименование факторов | Уровни варьирования | Диапозон варьирования | ||
-1 | +1 | |||
Индукция в рабочем объеме B, Тл | 0,3 | 0,35 | 0,4 | 0,05 |
Частота вращения внутреннего цилиндра n, с-1 | ||||
Коэффициент заполнения мелющими телами Kрэ | 0,31 | 0,33 | 0,35 | 0,02 |
Опыты были дублированы и рандомизированы во времени. По результатам полного факторного эксперимента рассчитаны коэффициентырегрессии и получено следующее уравнение регрессии:
. (5.3)
Таблица 5.2 -Матрица планирования и результаты экспериментов
№ опыта | Значение факторов в натуральном масштабе | Кодированные значения факторов | Результат опыта, дисперсность смеси Dδ30, % | |||||||||
B | n | Kрэ | X0 | X1 | X2 | X3 | X1X2 | X1X3 | X2X3 | X1X2X3 | ||
8; 13 | 0,3 | 0,35 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 94,0 | |
3; 12 | 0,4 | 0,31 | +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | 90,0 | |
11; 15 | 0,3 | 0,31 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | +1 | 89,0 | |
6; 14 | 0,4 | 0,35 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 98,5 | |
2; 4 | 0,3 | 0,31 | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | -1 | 87,0 | |
5; 7 | 0,4 | 0,35 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 96,5 | |
1; 9 | 0,3 | 0,35 | +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | 95,5 | |
10; 16 | 0,4 | 0,31 | +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 94,0 |
Результаты расчета построчных дисперсий представлены в табл. 5.3.
Таблица 5.3.
Опыт | Y1 | Y2 | Y | ∆Y | ∆Y2 | Sj2 |
-2 | ||||||
98,5 | 0,5 | 0,25 | 0,5 | |||
96,5 | 0,5 | 0,25 | 0,5 | |||
95,5 | 0,5 | 0,25 | 0,5 | |||
На основании данных таблицы 5.3:
· максимальная из рассчитанных построчных дисперсийmax Sj2=2;
· сумма всех дисперсий по N строкам матрицы планирования ;
· критерий Кохрена GP = 2/7,5 = 0,26.
Экспериментальная величина GP критерия не превышает табличного значения GT =0,68 (для степеней свободы ƒ1 = 1, общего количества оценок дисперсий ƒ2= 8 и уровня значимости р = 0,05), а следовательно гипотеза об однородности дисперсий принимается.
Проверка значимости коэффициентов производилась для каждого коэффициента сравниванием его абсолютного значения bi и доверительного интервала / bi / > /Δbi /.
Доверительный интервал Δbi определялся по формуле Δbi = ± tTSbi, (здесь tT - табличное значение критерия Стьюдента, определяемое по числу степеней свободы ƒo для уровня значимости р=0,05; Sbi- среднеквадратичное отклонение bi).
Величина tT критерия равна 2,31 для р = 0,05 и f0= 8, дисперсия S2bi=0,116. Тогда доверительный интервал Δbi = 0,34·2,31 = 0,785. Абсолютные величины коэффициентов регрессии b1 , b2 и b3 больше доверительного интервала, следовательно, гипотеза о незначимости этих коэффициентов отвергается. Коэффициенты регрессии b12, b13, b23, b123 незначимы и соответствующие им члены можно исключить из уравнения регрессии.
Результаты расчета остаточной суммы квадратов при проверке адекватности линейной модели
(5.4)
приведены в таблице 5.4.
Таблица 5.4
Опыт | Y | ![]() | ![]() | ![]() |
93,1 | 0,9 | 0,81 | ||
90,44 | 0,44 | 0,1936 | ||
89,34 | 0,44 | 0,1936 | ||
98,5 | 98,9 | 0,4 | 0,16 | |
96,5 | 96,56 | 0,06 | 0,0036 | |
95,5 | 95,56 | 0,06 | 0,0036 | |
92,8 | 1,2 | 1,44 |
Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие Fp< FT, где Fp и FT - соответственно расчетное и табличное значения критерия Фишера.
На основании табл. 5.4 дисперсия адекватности SАД2 = 1,4, критерий Фишера Fp =1,5. Табличное значение критерия Фишера для чисел степеней свободы ƒАД= 4 и ƒ0=8 равно 3,84. Таким образом, экспериментальная величина Fp критерия не превышает табличного значения и гипотеза об адекватности модели принимается.
Интерпретация полученных результатов заключается в установлении "силы и направления влияния" управляющих факторов, а также в проверке правильности представлений, положенных в основу электромагнитного способа создания измельчающего усилия. Величина коэффициентов регрессии является количественной мерой "силы влияния" факторов, а о характере их влияния говорят знаки коэффициентов. Анализируя полученное уравнение регрессии (5.4), можно сделать вывод, что наибольшее влияние напроцесс измельчения шоколадных масс на ЭММА оказывает фактор Х3 (коэффициент заполнения рабочего объема мелющими телами), в меньшей мере, но также значительно влияет фактор Х2 (индукция в рабочем объеме) и фактор X1 (частота вращения внутреннего цилиндра). Знак плюс при коэффициентах линейной регрессии свидетельствует, что с увеличением значения факторов растет величина параметра оптимизации, т.е. степень измельчения шоколадных масс увеличивается и процесс диспергирования интенсифицируется. Таким образом, интерпретация полученного уравнения регрессии подтвердила предпосылки, положенные в основу создания измельчающего усилия, реализованного в ЭММА.
Экспериментально-статистическая математическая модель процесса диспергирования шоколадных масс наЭММА, представленная в виде адекватного линейного полинома (5.4), использовалась для поиска области оптимума объекта исследования. Оптимизация процесса измельчения осуществлялась методом крутого восхождения.
При анализе качества и экономичности приготовления полуфабрикатов шоколадного производства наряду с дисперсностью важным показателем является однородность смеси. Поэтому в качестве ограничивающего параметра была введена в рассмотрение экспериментально найденная функция отклика Yσ , характеризующая однородность смеси σ. Расчет крутого восхождения и полученные результаты приведены в табл. 5.5. Здесь Ŷ и Y- соответственно расчетные и экспериментальные значения степени измельчения полуфабриката.
Таблица 5.5
Характеристика и номер опыта | Физические значения факторов | Кодированные значения факторов | Функция отклика | |||||||
Центр плана | 0,35 | 0,33 | - | |||||||
Интервал варьирования | 0,05 | 1,0 | 0,22 | 1,0 | 1,0 | 1,0 | - | - | - | |
Шаг движения | 0,01 | 0,2 | 0,01 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | - | - | - | |
Крутое восхождение | ||||||||||
Опыт | № 9 | 0,36 | 23,2 | 0,34 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 95,0 | 95,1 | - |
№ 10 | 0,37 | 23,4 | 0,35 | 0,4 | 0,4 | 1,0 | 97,2 | 97,2 | 1,55 | |
№ 11 | 0,38 | 23,6 | 0,35 | 0,6 | 0,6 | 1,0 | 97,6 | 97,7 | 1,7 | |
№ 12 | 0,39 | 23,8 | 0,35 | 0,8 | 0,8 | 1,0 | 98,2 | 98,3 | 1,88 | |
№ 13 | 0,4 | 24,0 | 0,35 | 1,0 | 1,0 | 1,0 | 98,5 | 98,6 | 1,94 |
Шаги движения и координаты опытов крутого восхождения в кодированных переменных рассчитывались по формуле Xi=(xi–x0i)/Гi (здесь Хi- кодированное значение фактора;xi - натуральное значение фактора; xоi - натуральное значение основного уровня; Гi - интервал варьирования) с использованием физических переменных x1, x2 , x3 и шагов варьирования Г1 , Г2, Г3, принятых ранее в полном факторном эксперименте. На основании таблицы 5.10 установлено, что в опыте № 10 достигается граница области определения фактора x3 .В данном случае, согласно рекомендациям, был выбран вариант стабилизации этого фактора на данном уровне и дальнейшее продвижение по градиенту по остальным факторам.
Анализ полученных данных показал, что в опыте №13 на граничной области определения по факторам и
достигнута максимальная дисперсность смеси, однако однородность смеси значительно хуже, чем в опыте №10. В условиях опыта №10 достигается оптимальное соотношение между однородностью
и максимально возможностей степенью измельчения смеси
. Поэтому оптимальным режимом проведения процесса измельчения шоколадных масс наЭММА следует считать условия опыта №10. Из расчетной зависимости
, представленной на рисунке 5.26, следует, что для данных режимов работы величина силового взаимодействия между размольными элементами в структурных группах составляет 56,3 Н.
Таким образом, в результате оптимизации экспериментально-статической модели процесса измельчения шоколадных масс электромагнитным способом определены следующие значения режимных и силовых параметров работы ЭММА, при которых процесс диспергирования протекают с наибольшим эффектом: электромагнитный режим , скоростной режим
, коэффициент заполнения рабочей камеры размольными элементами
, величина диспергирующего усилия
.
При этом достигается максимальная стандартизованная степень измельчения полуфабриката и высокая однородность его гранулометрического состава
. Доля фракций размером от 10 до 30 мкм составляет 65%, что в 2 раза больше по сравнению с продуктом помола, полученным классическим способом, предварительного и тонкого диспергирования рецептурных смесей шоколадных масс на традиционном измельчающем оборудовании.