Метод кривых распределения погрешностей

Центральная теорема теории вероятностей Ляпунова дает теоретическое обоснование тому факту, что при устойчивом процессе обработки заготовок на настроенных станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действительные размеры деталей часто подчиняются закону нормального распределения, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки.

Этот метод оценки точности применяется в условиях производства большого количества деталей. Для его применения необходимо произвести выборку деталей из обрабатываемых на исследуемой операции. Количество деталей в выборке влияет на точность оценки и определяется по специальной методике. По результатам измерения деталей выборки строится опытная кривая распределения, к которой по критерию согласия подбирается теоретический закон распределения.

Опытные кривые распределения строят следующим образом.

По оси абсцисс откладывают измеряемую величину, например диаметр деталей, через определенные интервалы, а на оси их количество, попадающее в эти интервалы, или частости.

Частость — это отношение числа деталей одного размера к общему числу деталей выборки. Соединяя точки пересечения, получают ломаную линию, которая называется опытной кривой распределения или полигоном распределения деталей по размерам (рис. 2.3).

Определяют поле рассеивания размеров деталей как приближенную меру их точности. Поле рассеивания размеров определяется на основе рассчитываемых параметров соответствующего теоретического закона распределения.

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения случайной величины непрерывного типа, подчиняющейся закону нормального распределения, имеет следующее выражение:

Рис. 2.3. Опытная кривая или полигон распределения размеров

где x — переменная случайная величина; φ(х) — плотность вероятности; σ — среднее квадратичное отклонение случайной величины x от ; — среднее значение (математическое ожидание a) величин х; e — основание натуральных логарифмов.

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде кривой холмообразного типа.

По виду кривой она симметрична относительно ординаты точки х = , т. е. равновозможны одинаковые положительные и отрицательные отклонения от . При этом меньшие отклонения более вероятны, чем большие, а весьма большие отклонения от центра группирования маловероятны. Положение кривой относительно начала координат и ее форма определяются двумя параметрами и σ. С изменением форма кривой не меняется, но изменяется ее положение относительно начала координат. С изменением σ положение кривой не изменяется, но изменяется ее форма. С уменьшением σ кривая становится более вытянутой, а ветви ее сближаются; с увеличением σ наоборот, кривая становится более приплюснутой, а ветви ее раздвигаются шире (рис. 2.4)

Интегральный закон нормального распределения выражается в общем виде так:

	Рис. 2.4. Влияние среднего квадратичного отклонения на форму кривой		Рис. 2.5. Кривая нормального распределения погрешностей (размеров)

Если случайная величина x следует нормальному закону, то достоверно, что она может принимать любые численные значения в пределах ±∞, поэтому

Вероятность Р (- ∞ < x < + ∞) = 1 представляет собой площадь под дифференциальной кривой нормального распределения. Очевидно, что вероятность значений х (рис. 2.5) в любом другом интервале х₁ - х₂ меньше единицы и будет равна

Произведем замену переменной x путем подстановки и, учитывая, что

x = t·σ + ; dx = σdt, получим

Новые пределы интегрирования заменили пределы x₁ и x₂. Правую часть уравнения можно представить в виде суммы двух интегралов

Знак плюс в последнем уравнении изменился на минус вследствие изменения пределов интегрирования с t₁ - 0 на 0 - t₁

Интеграл носит название нормированной функции Лапласа и его значения для различных приведены в справочной литературе. Эта функция нечетная, следовательно, Ф(-t) = -Ф(t) и для отрицательных значений t табличные данные берутся со знаком минус.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, при испытаниях примет значения в пределах х₁ - х₂, может быть записана через Ф(t) следующим образом:

Нетрудно убедиться, что значения случайной величины x будут находиться в интервале от - 3·σ до + 3·σ с вероятностью, весьма близкой к единице. Действительно, в этом случае

так как = - 3·σ; = + 3·σ; at₁ = -3; t₂ = 3. Следовательно,

Согласно табличным значениям Ф(t), 2Ф(3) = 0, 9973. Таким образом, вероятность появления случайной величины вне указанного интервала не происходит q = 1 – P = 1 - 0,9973 = 0,0027, т. е. очень мала. Поэтому принято зону рассеивания случайной величины x, подчиняющуюся нормальному распределению, ограничить пределами ± 3·σ.

Рассмотрим пример по расчету процента годных и негодных деталей для следующих исходных данных:

T_d =200 мкм; es=200 мкм; ei = 0; =100 мкм; σ = 50 мкм; (x = ∆d; = ∆d).

Определяем количество годных деталей.

Процент неисправимого брака

Процент исправимого брака

Для исключения неисправимого брака необходимо сместить наладочный размер, т. е. среднее значение до = 3·σ = 3·50 = 150 мкм. Тогда количество годных деталей при ∆d = 150 мкм.

Количество годных деталей составит 84,01 %.

На основе использования кривых распределения погрешностей разработаны рекомендации по выбору методов, обеспечивающих достижимые среднеэкономические точности обработки.

Кроме закона нормального распределения используются и другие законы. Так, если на размер обработки оказывает влияние установившийся износ инструмента, то распределение размеров деталей будут подчиняться закону равной вероятности (рис. 2.6, а). Если имеет место ярко выраженный начальный износ, зона установившегося износа мала, а за ней идет зона ускоренного возрастания износа, распределение размеров деталей может оказаться выраженным законом треугольника (Симпсона), как показано на рис. 2.6, б.

Распределение погрешностей взаимного положения, формы (отклонений от параллельности, перпендикулярности двух поверхностей, перпендикулярности оси детали к торцу, разностенности полых деталей) подчиняется закону эксцентриситета (Релея).

Метод кривых распределения универсален и нашел широкое применение в производстве. Однако по полученным кривым не всегда возможно определение причин, вызывающих изменение точности обработки. Метод не учитывает последовательности обработки, фиксирует результаты законченного этапа, т. е. «обращен в прошлое». Кривые распределения не дают необходимой информации для управления точностью процесса обработки заготовок.

Рис. 2.6. Законы распределения погрешностей (размеров): а — равной вероятности; б— Симпсона (треугольника)