Графическое решение матричной игры 2х2.

Поставленную выше задачу можно решить и графически на плоскости p0ν, где оптимальные значения (p^*, ν) являются координатами точки пересечения двух прямых.

Алгоритм графического решения игры (2х2):

1) на оси абсцисс Op откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (р=0) откладываем выигрыши при стратегии А₁, а на вертикальной линии (р=1) выигрыши при стратегии А₂;

3) строим стратегии B₁, B₂, проходящие через точки:

(0,a₁₁) и (1,а₂₁), а также (0,a₁₂) и (1,а₂₂);

4) находим точку N пересечения прямых, которая и будет решением матричной игры. Ордината точки N цена игры – ν, а абсцисса – p^*₂

Графическое решение матричной игры в постановке приведенной выше задачипредставлено на рис.1

H

p

p1=0,375

p2=0,625

A2

A1

a11=0,3

a12=0,8

a21=0,7==

a22=0,4

v=0,55

N

B2

B1

B`1

B`2

Рис.1

Матричные игры 2xn.

Рассмотрим матричную игру размерности (2´n) с платежной матрицей

Положим, что решение этой матричной игры в чистых стратегиях отсутствует, седловой точки – нет. Пусть смешанные стратегии игроков заданы

,

Тогда, следуя теореме, решение игры находится из первого уравнения (1.4):

где j=1,…,n.

Для определения максимума по p функции

,

построим ее график состоящий из n прямых вида

,

на плоскости p0ν по следующему алгоритму:

1) на оси абсцисс Op откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (р=0) откладываем выигрыши при стратегии А₁ (a_1j), а на вертикальной линии (р=1) выигрыши при стратегии А₂ (a_2j) ;

3) строим линии стратегий B₁, B₂,…, B_n проходящие через точки:

(0,a_1j) и (1,а_2j), при j=1,…,n ;

4) затем строим полигональную линию огибающую пучок этих линий снизу;

5) наогибающей находим вершину с максимальной ординатой;

6) абсцисса этой вершины есть вероятность p₂^* выбора оптимальной смешанной стратегии А₂ , тогда для стратегии А₁ имеем p₁^*=1- p₂^*, а

ордината этой вершины определяет цену игры-ν^*.

Задача

Дана конечная матричная игра с платежной матрицей вида:

.

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение.

1) Упростим платежную матрицу, проведя процедуру доминирования – стратегия B₄ доминирует B₃, следовательно, B₃ выводится из матрицы.

2) Решение в чистых стратегия

	B1	B2	B4	B5	B6	αi
βj

Имеем, , . Так как α< β, седловой точки нет иигра не имеет решения в чистых стратегиях

3) Решение в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии игроков

,

Строим график в системе координат pOν в соответствии с описанным выше алгоритмом.

ν

p

p1*

p2*

1 A2

A10

a21=1

V*

D

А

С

B

E

a22=2

a24=3

a26=6

a25=12

a11=10

a15=2

a16=3

a14=4

a12=8

Решение для игрока А.

Полигональная линия ABCDE – нижняя огибающая, соответствующая нижней границе цены игры, т. е. наихудшим ситуациям для игрока А. Максимальное значение достигается в точкеС, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям и игрока В. Абсцисса точки С соответствует вероятности p₂⁰ применения игроком А чистой стратегии A₂, аp₁^*=1-p₂^*– вероятности применения игроком А чистой стратегии A₂. Ордината точки С – цена игры ν^*. Оптимальное решение для игрока А, следующее:

, ν^* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.5) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ на a₁₄,a₁₆,a₂₄,a₂₆

Решение для игрока B.

ТочкаС является пересечением пары чистых стратегий и Следовательно, вероятности использования других стратегий равны нулю: q₁= q₂= q₅ = 0. На графике q₄^* и q₆^* равны долям, на которые проекция точкиС на ось ординат Oν делит отрезок (a₁₆ a₁₄). Оптимальное решение для игрока В, следующее:

, ν^* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.6) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ на a₁₄,a₁₆,a₂₄,a₂₆

Матричные игры mx2.

Рассмотрим матричную игру размерности (m´2) с платежной матрицей

Положим, что эта матричная игра в чистых стратегиях решения не имеет, седловой точки – нет. Пусть смешанные стратегии игроков заданы

,

Тогда, следуя теореме, решение игры находится из второго уравнения (1.4):

где i=1,…,m.

Для определения минимума по q функции

построим ее график состоящий из m прямых вида

,

на плоскости q0ν по следующему алгоритму:

1) на оси абсцисс Oq откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (q=0) откладываем проигрыши при стратегии В₁ (a_i1), а на вертикальной линии (q=1) проигрыши при стратегии B₂ (a_i2) ;

3) строим линии стратегий A₁, A₂,…, A_m проходящие через точки:

(0,a_i1) и (1,а_i2), при i=1,…,m;

4) затем строим полигональную линию огибающую пучок этих линий сверху;

5) наогибающей находим вершину с минимальной ординатой;

6) абсцисса этой вершины есть вероятность q₂^* выбора оптимальной смешанной стратегии B₂ , тогда для стратегии B₁ имеем q₁^*=1- q₂^*, а

ордината этой вершины определяет цену игрыν^*.

Задача

Дана конечная матричная игра с платежной матрицей вида:

.

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение.

1) Решение в чистых стратегиях

	B1	B2	αi
A1
A2
A3
βj

Имеем, , . Так как α< β, игра не имеет решения в чистых стратегиях, т.к. седловой точки нет.

2) Решение в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии игроков

,

Строим график в системе координат qOν в соответствии с описанным выше алгоритмом.

ν

q

q1*

q2*

V0

M

С

N

1 B2

B10

a12=2

a32=3

a22=4

a21=2

a31=6

a11=4

Решение для игрока В.

Полигональная линия МNC– верхняя огибающая, соответствующая верхней границе цены игры, т. е. наилучшим ситуациям для игрока В. Минимальное значение достигается в точке N, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям А₃ и А₂игрока А. Абсцисса точки N соответствует вероятности q₂^* применения игроком B чистой стратегии B₂, аq₁^*=1-q₂^*– вероятности применения игроком B чистой стратегии B₂. Ордината точки С – цена игры ν^*. Оптимальное решение для игрока А, следующее:

, ν^* = 18/5.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.6) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ на a₂₁,a₂₂,a₃₁,a₃₂

Решение для игрока А.

Точка N является пересечением пары чистых стратегий A₂ и A_3. Следовательно, вероятности использования других стратегий равны нулю: p₁= 0. На графике p₂^* и p₃^* равны долям, на которые проекция точки N на ось ординат Oν делит отрезок ( a₃₁ a₂₁). Можно найти точные значения p₂^* и p₃^* из решения системы двух линейных уравнений соответствующих стратегиям A₂ и A_3.

Оптимальное решение для игрока A, следующее:

, ν^* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.5) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ на a₂₁,a₂₂,a₃₁,a₃₂.