Закон нормального распределения и его свойства

В математической статистике теоретическая частность определяется следующим выражением называется плотностью распределения случайной величины. Функция, представленная этим выражением, отражаем законом нормального распределения.График этой функции представлен на рис.49 и называется кривой нормального распределения.

Из формулы (18) следует, что плотность распределения случайной величины для линейных размеров имеет размерность обратную длине, т.к. среднее квадратическое отклонение имеет данную размерность. Плотность распределения следует рассматривать, как величину, показывающую насколько велика вероятность появления случайной величины в окрестности некоторой точки на отрезке единичной длины. В окрестностях х_n = х плотность распределения максимальная, т.е. вероятность появления случайной величины в окрестностях этой точки максимальная. С увеличением разности х - х плотность распределения уменьшается.

Чтобы лучше усвоить понятие плотности распределения, можно провести аналогию с плотностью вещества, которая определяется как масса, содержа­щаяся в единице объема. Представим себе стержень, плотность вещества которого меняется по длине согласно некоторому закону. Тогда, чтобы определить массу участка стержня, необходимо вычислить определенный интеграл от плотности его материала в пределах этого участка. Следуя этой аналогии, чтобы определить вероятностьпоявления случайной величины х в некотором интервале х₁ <=х<=х₂, плотность распределения которой подчиняется нормаль­ному закону, необходимо вычислить интеграл

Геометрически I(x) представляет собой площадь фигуры на отрезке [х₁, х₂ ] под кривой нормального распределения. Для достаточно узкого интервала согласно теореме о среднем

Кривая нормального распределения

1. Ось х является асимптотой для ее ветвей.

2. При х = х;

(17,а)

(18)

(19)

(20)

3. Кривая имеет две точки перегиба А и В, которые находятся на расстоянии от оси симметрии. Ординаты их равны

4. Если случайная величина следует нормальному закону распределения и может принимать любые численные значения в интервале - < х < + , то

5. Положение кривой относительно начала координат, и ее форма определяются двумя параметрами и . С изменением при постоянном форма кривой остается прежней. Изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 50). С изменением сигма центр кривой остается на прежнем месте. Изменяется ее форма (рис.51).

Докажем справедливость равенства (23). Если это условие выполняется, то для любого другого интервала, х^ х х₂

Введем новую переменную. Это действие называется нормированием.Графическая интерпретация процедуры нормирования заключается в совмещении начала новой системы координат (t, у) с центром группирования. В этом случае кривая нормального распределения становится симметричной относительно оси у. После замены переменной в (24) получаем

где и - новые пределы интегрирования. Допустим /, = -t; t-) - +t . Теперь где называется функцией Лапласа, значение которой задано в таблицах.

(22)

(21)

(23)

(24)

(25)

(26)

Интеграл (26) нельзя выразить в элементарных функциях. Его можно вычислить, если представить подынтегральную функцию в виде в виде бесконечного степенного ряда с последующим его интегрированием. В результате будем иметь:

Из выражения (27) следует, что при , . Таким образом, равенство

(23) доказано. Так как интегралами (23) - (26) определяется вероятность появления случайной величины в заданном интервале ее изменения.

Геометрически указанные интегралы представляют собой площадь под кривой нор­мального распределения в пределах заданного интервала. Поэтому согласно (23) независимо от значений и эта площадь, при изменении случайной ве­личины в пределах - < х < + , всегда одинакова и равна единице. Для меньшего интервала она меньше единицы.

С помощью функции Лапласа можно определить теоретические частность и частоту. Из выражений (17,а) и (18) получаем

(28)

(27)

Пусть , а . В результате нормирования (заме-

ны переменной) будем иметь

Или при достаточно малом отрезке приближенно получаем

(30)