Диапазон и точность представления чисел с ПЗ

Диапазон и точность представления чисел с ПТ зависят от числа разрядов, отводимых под порядок и мантиссу.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Помимо разрядности порядка и мантиссы диапазон представления чисел зависит и от основания используемой системы счисления, которое может быть отличным от 2.

Например, в универсальных ВМ (мэйнфреймах) фирмы IBM используется система счисления с основанием 16. Это позволяет при одинаковом количестве битов, отведенных под порядок, представлять числа в большем диапазоне. Так, если поле порядка равно 7 битам, максимальное значение q ^p на которое умножается мантисса, равно 2¹²⁸ (при q = 2) или 16¹²⁸ (при q = 16), а диапазоны представления чисел соответственно составят 10^-19 < |Х| < 10⁺¹⁹и 10^-76 < |Х| < 10⁺⁷⁶. Известны также случаи использования базы 8, например, в ВМ В-5500 фирмы Burroughs.

Смещенный порядок

В большинстве вычислительных машин для упрощения операций над порядками, последние приводят к целым положительным числам, применяя, смещенный порядок. Использование смещенной формы упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел

Для получения значения смещенного порядка к истинному порядку добавляется целое положительное число — смещение. Обычно смещение выбирается равным половине представимого диапазона порядков. Смещенный порядок занимает все биты поля порядка, в том числе и тот, который ранее использовался для записи знака порядка.

Например, если для записи порядка отводится 8 бит, то смещение будет равно . Если значение порядка равно -3, то значение смещенного порядка будет равно 125 (-3 + 128).

Рисунок -Формат числа с ПЗ со смещенным порядком

Пример:

Прием скрытой единицы

Если для записи числа с ПЗ используется база 2 (q = 2), то часто применяют еще один способ повышения точности представления мантиссы, называемый приемом скрытой единицы.

Суть его в том, что в нормализованной мантиссе старшая цифра всегда равна единице (для представления нуля используется специальная кодовая комбинация), следовательно, эта цифра может не записываться, а подразумеваться. Запись мантиссы начинают с ее второй цифры, и это позволяет задействовать дополнительный значащий бит для более точного представления числа.

Следует отметить, что значение порядка в данном случае не меняется. Скрытая единица перед выполнением арифметических операций восстанавливается, а при записи результата — удаляется. Таким образом, нормализованная мантисса 0,101000(1) при использовании способа «скрытой единицы» будет иметь вид 0,010001 (в скобках указана цифра, не поместившаяся в поле мантиссы при стандартной записи).

Для более существенного увеличения точности вычислений под число отводят несколько машинных слов, например два. Дополнительные биты, как правило, служат для увеличения разрядности мантиссы, однако в ряде случаев часть из них может отводиться и для расширения поля порядка. В процессе вычислений может получаться ненормализованное число. В таком случае ВМ, если это предписано командой, автоматически нормализует его.