Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

С ростом числа факторов при ПФЭ количество опытов резко возрастает. Но в начале экспериментов нужно получить некоторую первичную информацию, для чего достаточно построение линейной модели. ПФЭ становиться нецелесообразным, т.к. количество опытов значительно превышает число коэффициентов «b». Возникает желание сократить количество опытов за счёт той информации, которую несут эффекты взаимодействия и которые для построения постулируемой модели несущественны.

Пример. ПФЭ – 2² позволяет построить модель

.

Однако, если из априорной информации известно, что эффект взаимодействия x₁x₂ не существенен, то вместо x₁x₂ можно включить ещё один фактор х₃. Знаки фактора х₃ определяются из соотношения

.

Получается матрица планирования из трёх факторов, по которой можно построить модель вида

.

Таблица 11

Матрица ДФЭ – 2^3-1

№ опыта, j	x0	x1	x2		yj
	+	+	+	+	y1
	+	–	+	–	y2
	+	+	–	–	y3
	+	–	–	+	y4

Для этого достаточно провести 4 эксперимента из восьми в ПФЭ – 2³. План эксперимента с половиной опытов ПФЭ называют полурепликой. При увеличении числа факторов (K > 3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называется план эксперимента, являющийся частью плана ПФЭ. Дробные реплики записываются как

,

где p – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.

Реплики, которые используются для сокращения числа опытов в 2^m раз (где m = 1,2,3…) называются регулярными. Из приведенной матрицы ДФЭ – 2^3–1 видно, что коэффициент «b₃» совпадает с коэффициентом «b₁₂» (знаки столбцов х₃ и x₁x₂ одинаковы). Если в дополнение к имеющимся столбцам построить столбцы x₁x₃ и x₂x₃, то они совпадут со столбцами х₂ и x₁. Следовательно, и коэффициенты «b₁₃» и «b₂₃» совпадут с коэффициентами «b₂» и «b₁». Таким образом, в этом случае нельзя получить раздельные, независимые оценки коэффициентов, как при ПФЭ, т.е. нельзя отделить линейные влияния факторов x₁, x₂, x₃ от парных взаимодействий. Поэтому говорят, что линейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это записывается так

; ; ,

где b₁, b₂, b₃ – вычисленные выборочные оценки коэффициентов, т.е. b₁ свидетельствует как о влиянии x₁, так и о совместном влиянии факторов x₂ и x₃.

Таким образом оценки, в которых невозможно разделить линейный эффект и эффект взаимодействия, называется смешанными. Линейные эффекты рекомендуется смешивать прежде всего с теми эффектами взаимодействия, которые согласно априорной информации наименее значимы. При ДФЭ теряется некоторая информация по сравнению с ПФЭ, но это – естественная плата за сокращение количества опытов.

Дробные реплики задаются с помощью генерирующих соотношений, которые показывают, какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором. Для ДФЭ типа 2^3–1 генерирующим соотношением является выражение . Умножая обе части на x₃, получим . В результате умножения получают так называемый определяющий контраст, с помощью которого узнают, с каким из эффектов взаимодействий смешан данный линейный эффект.

,

,

.

Если априорной информации нет, то стремятся выбрать реплику, в которой основные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. Это связано с тем, что, как правило,
основные эффекты сильнее парных взаимодействий, парные – сильнее
тройных, тройные – четверных и т.д. Выбор дробной реплики зависит от
конкретной задачи. Для получения линейной модели рекомендуется
выбирать дробные реплики с возможно большей разрешающей
способностью, т.е. реплики, у которых эффекты смешаны с эффектами взаимодействия, близкими к нулю. При выборе дробной реплики важно учитывать насыщенность плана, т.е. соотношение между количеством опытов и числом коэффициентов, определяемым по результатам этих опытов. Дробная реплика, полученная заменой всех эффектов взаимодействия новыми факторами, называется насыщенной. Насыщенные планы требуют минимального количества опытов. В матрице планирования насыщенной дробной реплики количество опытов равно числу коэффициентов линейной модели. Гипотезу адекватности по результатам выполненных экспериментов в этом случае проверить невозможно, т.к. число степеней свободы равно нулю. Для этого необходимо проведение дополнительных экспериментов. Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия.

При построении дробной реплики используют следующее правило: новый фактор, введенный в планирование, нужно поместить в столбец матрицы, соответствующей взаимодействию, которым можно пренебречь.

Свойства матриц ПФЭ и ДФЭ

1. Симметричность относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю

,

где i – номера фактора; j - номер опыта; N – количество опытов в матрице.

2. Нормировка: сумма квадратов элементов каждого столбца равна количеству опытов

.

3. Ортогональность: сумма построчных произведений элементов
любых 2-х столбцов равна нулю.

,

где i, l – номера факторов (при ).

Ортогональность – самое важное свойство, т.к. позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент окажется незначимым, то его можно отбросить, не пересчитывая остальные.

4. Рототабельность: точки в матрице планируются так, что матричная
модель, полученная по результатам ПФЭ или ДФЭ, способна предсказать
значение параметров оптимизации с одинаковой точностью в любых
направлениях на равном расстоянии от центра эксперимента. Это очень
важное свойство матрицы, т.к., начиная эксперимент, исследователь не знает,
в каком направлении двигаться в поисках оптимума.