Заданного статистического ряда показателя качества.

Проверка согласия предполакаемого нормального закона распределения с законом распределения заданного статистического ряда выполняется по критерию хи-квадрат. Расчет для проверки согласия производится по формулам (2)-(8).

Определяется объем выборки

r

n= ∑ n_i^э (2)

i=1

Определяется среднее значение выборки

r r

x _ср = ∑ x_{i ср} n_i^э / ∑ n_i^э (3)

i=1 i=1

Определяется значение дисперсии

r

s² = ∑ Δx_i ² _* n_i^э / (n-1) (4)

i=1

Здесь

(5),

Где: x_{i ср} - значение середины каждого принятого интервала,

r – принятое число интервалов.

Значения величины плотности вероятности нормального закона распределения φ_ί в зависимости от значения аргумента определяется по табл. 3. Для повышения точности выполняемых расчетов промежуточные значения следует определять линейной интерполяцией их табличных величин.

Таблица 3

Плотность вероятности нормального распределения.

Δxi /s		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	1,0	1,1
φί	0,3989	0,3970	0,3910	0,3814	0,3683	0,3581	0,3332	0,3123	0,2897	0,2420	0,2179
Δxi /s	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2
φί	0,1942	0,1714	0,1497	0,1295	0,1109	0,0940	0,0790	0,0656	0,0540	0,0440	0,0355
Δxi /s	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,2	3,5	4,0
φί	0.0283	0,0224	0,0175	0,0140	0,0105	0,0079	0,0059	0,0044	0,0027	0,0009	0,0001

Вычисляются значения

(6)

теоретического объема выборки

n_i^т= f_ί*n_ί*h (7)

Определяются значения коэффициентов

β_ί =( n_i^т - n_i^э)² / n_i^т (8)

Результаты расчетов проверки согласия по критерию хи-квадрат представляются в форме табл.4.

Таблица 4

xi ср	niэ	xi ср *niэ	Δxi	Δxi 2	Δxi 2* niэ	Δxi /s	φί	fί	niт	niт - niэ	βί
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При вычислении оценки согласия по критерию хи-квадрат крайние интервалы, содержащие менее пяти значений показателя качества, необходимо объединять.

Затем вычисляется значение

r

y=∑β_ί / k (9)

i=1

Здесь k – число степеней свободы, определяемое из соотношения

(10)

Где c – число параметров закона распределения. Для нормального закона распределения c =2.

Полученное значение y сравнивается с табличным значением (см. табл. 5) распределения хи-квадрат при небольшом (порядка 0,1) значении доверительной вероятности

Таблица 5.

Значение y распределения хи-квадрат.

K	α.
0,010	0,025	0,050	0,100	0,200	0,300
	0,256	0,325	0,394	0,487	0,618	0,727
	0,278	0,347	0,416	0,507	0,635	0,741
	0,298	0,367	0,436	0,525	0,651	0,753
	0,316	0,385	0,453	0,542	0,664	0,764
	0,333	0,402	0,469	0,556	0,676	0,773
	0,349	0,418	0,484	0,570	0,687	0,781
	0,363	0,432	0,498	0,582	0,697	0,789

В тех случаях, когда табличное значение величины y больше вычисленного по формуле (9), согласие экспериментально полученных значений заданного статистического ряда с предполагаемым нормальным законом распределения может считаться хорошим. По результатам проверки по критерию хи-квадрат делается вывод о характере согласия (хорошее или плохое).

Производится проверка согласия предполагаемого закона распределения по критерию Колмогорова. Вычисления выполняются по форме табл. 6, в которую заносятся конечные значения интервалов x_{i к} и количество значений параметра в каждом интервале n_ί. Затем определяется экспериментальная частость появления параметра качествав каждом интервале n_ί / n, после чего вычисляется накопленная экспериментальная частость

r

F_эj =∑ n_ί / n (11)

i=1

Определяется накопленная теоретическая частость как функця от по табл. 6

F_тj = f (x_iк - x _ср ) / s (12)

Таблица 6

Значение функции F_т нормального распределения

(xiк- x ср ) / s	0,00	0,05	0,01	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80
Fт	0,5000	0,5199	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7257	0,7580	0,7881
(xiк- x ср ) / s	0,90	1,00	1,10	1,20	1,30	1,40	1,50	1,60	1,70	1,80
Fт	0,8159	0.8413	0,8631	0,8849	0,9020	0,9192	0,9322	0,9452	0,9555	0,9641
(xiк- x ср ) / s	1,90	2,00	2,10	2,20	2,40	2,60	2,80	3,00	3,50	4,00
Fт	0,9706	0,9772	0,9816	0,9861	0,9918	0,9953	0,9974	0,9986	0,9998	0,9999

Затем определяется абсолютное значение разницы накопленной и экспериментальной частости

(13)

Расчет выполняется по форме табл. 7.

Таблица 7

Проверка по критерию Колмогорова

xiк	nί	nί / n	Fэj	(xiк- x ср ) / s	Fтj	ΔF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Из всех полученных значений выбирается максимальное значение исопоставляется с табличным (табл.8) или вычисленном по формулам (14 или 15).

Таблица 8

Значения критерия Колмогорова ΔF

n	α
0,8	0,9
	0,232	0,265
	0,148	0,170
	0,118	0,135
	0,106	0,121

Для значений n > 100 при и при

Согласие заданного статистического ряда с теоретическим законом нормального распределения считается плохим, если вычисленное эмпирическое значение критерия Колмогорова больше теоретического, т.е. . При определении согласия по критерию Колмогорова вероятность α следует брать не менее 0,8. При меньших значениях α заранее планируется малая вероятность события, что свидетельствует о плохом согласии с предполагаемым нормальным законом распределения.

По выполненным расчетам строятся гистограмма, теоретическая и экспериментальная плотности распределения (рис.2.2), интегральные функции теоретическая и экспериментальная по данным табл. 6 (рис.2.3).Экспериментальные значения наносятся в виде отдельных точек. На графиках (см. рис.2.2 и рис.2.3) необходимо указать значения x _ср, s, ΔF_max.

n_ί ,f

x _ср -2 s x _ср+2 s

-2 s x _ср +2 s x_i

Рис.2.2. Гистограмма, теоретическая и экспериментальная плотности

нормального распределения

F_т

- - - - - - - - - - - - - - --

x _ср x_i

Рис. 2.3. Интегральные функции (теоретическая и экспериментальная).

Установление поля допуска.

Величина поля допуска обычно устанавливается по полученным значениям среднего и среднеквадратического параметра качества при выбранной двухсторонней вероятности α = 0,90; или α =0,95; или α= 0,99. Рекомендуется принимать значение величины поля допуска в пределах ±2 s. Установленное таким образом поле допуска следует нанести на ранее построенные графики (см. рис.2.2).