Практическое занятие 11. Расчет осредненных относительных фазовых проницаемостей.

Цель работы:Определение осредненных относительных фазовыхпроницаемостей

Пусть слоистая неоднородность пласта по абсолютной проницаемости задана некоторым законом распределения случайных чисел f (к). Абсолютная проницаемость меняется от 0 до ∞. Рассмотрим вертикальный разрез пласта, из которого вытеснение нефти осуществляется водой.

Мысленно переупакуем слои по вертикали в порядке убывания их проницаемости снизу вверх, т.е. слой с самой большой проницаемостью расположим внизу, а с самой низкой проницаемостью - вверху.

Принимается, что перетоки жидкости между отдельными слоями отсутствуют, вытеснение поршневое. Закачка воды производится при з д нном перепаде давлений P(t).

Рассмотрим некоторое поперечное сечение пласта А-А в мом нт времени t.

Отметим в нем проницаемость самого верхнего обводненного прослоя через к₀.

В сечении А-А по всем слоям с проницаемостью к> ко - течет вода, а в слоях с проницаемостью к < ко - течет нефть.

Задача 14.Слоисто-неоднородный по толщине пласт отличается еще и

т м, что абсолютная проницаемость каждого может изменяться по простиранию. Отдельные прослой могут замещаться в пространстве прослоями с иной проницаемостью, так что проницаемость прослоев изменяется не только по толщине, но и по длине. Однако при построении модели данного пласта ока-зывается возможным выделить «элементарный объем» прямолинейного пласта длиной D х, общей толщиной h и шириной b (рис. 5), состоящей из набора пропластков с абсолютной проницаемостью, распределение которой подчиняется определенному вероятностностатистическому закону.

Требуется для данной модели пласта определить модифицированные относительные проницаемости для нефти и воды, принимая, что вода, вытесняющая нефть из элемента пласта, входит в пропластки начиная с пропластка с самой большой проницаемостью. Так как ^Dx мало по сравнению с размерами пласта в целом, можно считать, что вода последовательно и мгновенно заполняет каждый пропласток. Вытеснение нефти водой из каждого пропластка — поршневое. При этом остаточная нефтенасыщенность изменяется в зависимости от абсолютной проницаемости прослоев следующим образом:

_{Sн ост=} 0.68e^{-k / 2k} _.

Содержание связанной воды также зависит от абсолютной про-ницаемости отдельных прослоев пласта и определяется по формуле

_Sсв= 0.32e^{-k / 2k}

Принимается в виде гипотезы, что фазовая проницаемость для воды в каждом из прослоев зависит от абсолютной проница мости остаточной нефтенасыщенности и насыщенности связанной в д й следующим образом:

k_в = k(1- S_ност - S_cв )

Абсолютная проницаемость слоев неоднородного пласта в его элементарном объеме длиной ^Dx соответствует гамма-распределению при

a = 2 _.

Решение. Расположим слои пласта таким образом, чтобы слой с самой

высокой абсолютной проницаемостью ( ^{k ® ¥} ) находился в нижней части элемента пласта, а слой с наименьшей проницаемостью (к = 0) — в верхней. Проницаемость слоев непрерывно возрастает снизу вверх. В соответствии с условием задачи вода мг овенно вытесняет нефть из обводнившегося прослоя. Таким образом, в какой-то момент времлени оказывается, что из слоев с

суммарной т лщин й ^h произошло вытеснение нефти и в них фильтруется только вода. В этих слоях осталась, в соответствии с моделью поршневого

вытеснения, неизвлекаемая нефть с остаточной нефтенасыщенностью ^Sност . В остальных же слоях содержатся нефть и связанная вода.

В соответствии с предположением о последовательном мгновенном обводнении слоев, начиная со слоя с самой высокой проницаемостью, расход

воды ^Dqв поступающей в слой элемента пласта толщиной ^Dh , определяется следующим образом:

_{Dqв =} ^kв^bDhDp ₌ ^{k(1- S}ност ^{- S}св^)bDhDp _.

m_вDx m_вDх

Если бы слой был полностью водонасыщенным (нефтенасыщенность равна нулю), то расход воды, фильтрующейся через этот слой пласта, составил

_Dq = ^kbDpDh

_в m_в Dх

Однако если в некоторый момент времени обводнены слои с суммарной

толщиной ^h , то расход воды, поступающей в эти слои, будет выражаться интегралом;

h

_{m в Dх} ò₀ ^{k(1- S}ност ^{- S}св ^)dh.

Вслучае полностью водонасыщенного пласта^qв=bDp

bDp ^h

^{qв =} _{mв Dх} ò₀ ^kdh.

Определим модифицированную относительную проницаемость пласта для воды

q

h

ò

- Sност - Sсв )dh

k(1

=

в

=

.

k

в

h

qв

òkdh

Учитывая

вероятностно -стат ст ческое распределение абсолютной

проницаемости, т. е. полагая dh = hf (k) dk, из предыдущих формул имеем;

¥

ò (1 - S_ност - S_cв )kf ( k ) dk

kв =	k*
	¥
		ò kf (k)dk	(*)
где k*	— проницаемость обводнившегося в данный момент времени

слоя.

Счи ае ся, что в необводненной части элемента пласта происходит фильтрация только нефти, поступающей из соседнего элемента. Поэтому

			h	bDpkdh		bDh	k*
q	н	=		ò			=		kf (k)dk
							*
					mн Dх		mн Dх ò0
			h

Если бы в элементе пласта фильтровалась только нефть, то было бы;

bDp ^¥

^qн ⁼ _{mн Dх} ò₀ ^{kf (k)dk}

Аналогично ^kв получаем формулу для модифицированной от-носительной проницаемости для нефти ^kí . Имеем

^к_ò^* kf (k)dk

k_н =_¥⁰ .

ò kf (k)dk

0 (**)

Для гамма-распределения интеграл, стоящий в знаменателе формул (*) и

(**), известен. Он равен ^{2 k} при ^{a = 2} . Таким образом, необходимо вычислить интегралы, содержащиеся в числителе формул (*) и (**).

Обозначим в рассматриваемом случае гамма-распр д л ния при ^{a = 2}

	¥
		¥ k 2ek / k
J1= -	ò	kf (k)dk =	ò	k 2		dk.
k*	k*

Интегрируя это выражение по частям, получаем

J₁= ke^-k*^{k é}_ê(^k_k^*)²+2(^k_k^*)+2^ù_ú.

ë û

Возьмем интеграл, содержащ йся в числителе формулы (**). Имеем

k*

k*

-kk

ì

é

ù

J

ò

kf (k)dk =

ò

k

e

dk = k

ï

- e

-k

h

æ k

*

ö

æ k

ö

}.

=

í

*

êç

÷

- 2ç

*

÷

+ 2ú

k 2

è

k

ø

è

k ø

ú

ï

ê

î

ë

û

Вычислим интегр л, содержащийся в числителе формулы (*), с учетом зависимостей ^Sност и ^Sñâ от проницаемости, данных в условии задачи. Имеем

¥

k*

[1- (0.68 + 0.32)e-k 2k ]

k

e

-k / k

¥

k

e

-kk

¥

k

e

-1.5kk

ò(1- Sност - Sсв )kf (k)dk = ò

dk =ò(1- e-k2k)

dk = J1-ò

dk =

k

k

k

k*

k*

k*

éæ1.5k

ö2

æ1.5k

ö

ù

k

-

= J

-

e 1.5k*k êç

*

÷

+ 2ç

*

÷

+ 2ú.

(1.5)

êè

k

ø

è

k

ø

ú

ë

û

Та им образом, для модифицированной относительной проницаемости для воды по формуле (*) имеем выражение

-k

é

æ k

ö

k

ù

é

æ1.5k

ö

1.5k

ù

kв = e

k

*

e

-1.5k k

*

ê

ç

*

÷

+

+1ú

-

*

ê

ç

*

÷

-

*

+1ú.

1.53

k

k

k

ê

è

k ø

ú

ê

è

ø

ú

ë

û

ë

û

Соответственно модифицированная относительная проницаемость для нефти

-k

é

æ k

ö2

k

ù

kв =1- e

k

*

ê

ç

*

÷

+

+1ú

k ø

k

ê

è

ú

ë

û

Необходимо получить выражение для модифицированной

водонасыщенности элемента пласта ^S . Вода в элем нте пласта содержится в виде связанной воды и воды, заполнившей обводнившиеся пропластки.

Поровый объем ^DVв рассматриваемого элемента пласта составит

DV_в = mbhDx.

Объем связанной воды в нео воднившихся пропластках выражается следующим образом:

h

h*

DVсв = mbhDxòScв dh = mbh D x òSсв f (k)dk.

h

Для объема воды DVâ в обводнившихся слоях имеем выражение

k*

DVв = mbhDxò(1- S ост ) f (k)dk.

Полный бъем воды в элементе пласта

ék*

¥

ù

é¥

¥

ù

DVв

= mbhDxê

òSсв f (k)dk +

ò(1- Sност )f (k)dkú

= mbhDxêòSсв f (k)dk +ò

(1- Sност - Sсв ) f (k)dkú

=

ê

k

ú

ê0

k

ú

ë

*

û

ë

*

û

é

0.32

¥

ke-kk

ù

é0.32

-

k

*

-

1.5k

ù

= mbhDxê

- ò(1- e-k 2k )

dkú

= mbhDxê

+ e

k*k (1+

) -

e 1.5k*k (1

+

*

)ú.

1.5

k

1.5

1.5

k

ê

k

ú

ë

k

û

ë

*

û

Имеем, наконец,

DV

-k

k

æ

1.5k

ö

x =

= 0,142 + e

k

(1+

) - 0.444e

-1.5k k

+

в

*

*

ç1

*

÷.

DVв

k

è

k

ø

Рисунок 20. Зависимости фазовых проницаемостей от водонасыщенности

Чтобы получить зависимости k_H = k_B (s) и k_B = k_B (s), необходимо, задаваясь значением ^k* , изменяющимся от 0 до ^¥ , определять ^S и при этом

_{же значении} ^k*,kí _и ^kв _.

Зависимости модифицированных относительных проницаемостей,

вычисленных по формулам, от ^S приведены на рис. 20. Как видно, модифицированная насыщенность пласта связанной водой, соответствующая

^k* ^{® ¥} , ^Sсв ^{= 0,142} . При полном же обводнении пласта, соответствующем

k*=0,

= 0.698.

S

Соответственно относительные

проницаемости

для воды и нефти

kв =0,kн =1

при

k

*

® ¥

и

k

в

= 0,704, k

в

= 0

при

k

*

= 0

.

Следует отметить, что

кривая модифицированной проницаемости для воды ^kв ^{= k}в ^{(S )} возрастает монотонно с увеличением ^S и является вогнутой к си абсцисс.

Задача 15.Требуется построить кр вые модифицированныхотносительных проницаемостей для с оисто-неоднородного пласта,

характеризующ