Теоретические законы распределения отказов

Отказы в системах возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь зависит от многих причин, то отказы элементов, входящих в состав системы, относятся, как правило, к случайным событиям, а время работы до возникновения отказов - к случайным величинам. В инженерной практике возможны и не случайные (детерминированные) отказы (отказы, возникновение которых происходит в определенный момент времени, т.е. в момент возникновения причины, так как существует однозначная и определенная связь между причиной отказа и моментом его возникновения). Например, если в цепи аппаратов ошибочно поставлен элемент, не способный работать при пиковой нагрузке, то всякий раз когда возникает эта нагрузка, он обязательно перейдет в отказовое состояние. Такие отказы выявляются и устраняются в процессе проверки технической документации и испытаний.

При анализе надежности объектом исследования являются случайные события и величины. В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую кривую, площадь под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Поэтому прежде чем приступить к инженерным методам расчета надежности и испытаний на надежность, следует рассмотреть закономерности, которым они подчиняются.

Случайное событие

Случайное событие - событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий - последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений техническое устройство может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное). Переход изделия из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс.

Случайная величина

Случайная величина - величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших элементов при наработке заданного объема и т.д.), либо непрерывной (время наработки элемента до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность того, что случайная величина X меньше некоторой текущей переменой x.

Функция распределения случайной величины X (интегральный закон распределения) - функция вида F(x) = p (X<x).

Плотность распределения непрерывной случайной величины X (дифференциальный закон распределения) - производная от функции распределения:
; ; . (4.3.1)

В теории надежности за случайную величину обычно принимают время работы изделия (время до возникновения отказа). В этом случае функция плотности распределения f(t) будет служить полной характеристикой рассеивания сроков службы элементов (рис. 4.3.1). Вид этой функции зависит от закономерностей процесса потери элементом работоспособности.

Кривая распределения f(t) - частота отказов - дает возможность подсчитать средний срок службы элемента Т_ср (математическое ожидание М[t]), рассеивание (дисперсию D) этих сроков службы относительно центра группирования и другие числовые параметры случайной величины Т.

Рис. 4.3.1. Кривые распределения случайной величины при износовых (постепенных) отказах: а - реализация функции износа j(U); б - плотность распределения сроков службы f(t);
в - интегральная функция распределения F(t) и вероятность безотказной работы P(t)

Если взять некоторый период времени работы элемента t, то площадь F(t) кривой распределения f(t) будет характеризовать вероятность отказа (выхода из строя) элемента за этот период времени (рис. 4.3.1,б). Поэтому левая ветвь кривой распределения f(t), относящаяся к области малой вероятности отказов, используется обычно для характеристики безотказности работы изделия, а вся кривая f(t) и ее параметры необходимы для оценки его долговечности.

Ординаты интегральной функции распределения F(t) (рис.4.3.1, в) характеризуют вероятность отказа детали до данного момента времени
F(t) = .

Во многих случаях нет необходимости пользоваться функциями F(t) или f(t), достаточно знать числовые характеристики этих кривых.

Основной характеристикой положения кривой f(t) является математическое ожидание М[t], которое в нашем случае является средним сроком службы Т_ср(наработкой на отказ):

Т_ср = .

Основной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия D или среднее
квадратическое отклонение s=

D(t) = .

Чем больше значение D (или соответственно s), тем больше рассеивание сроков службы относительно их среднего значения М[t].

Для оценки надежности работы элемента, принимая за основную случайную величину время до возникновения отказа, можно определить и вероятность безотказной работы P(t) в пределах заданного периода t. Для этого воспользуемся значением интегральной функции

F(t) = .

Вероятность безотказной работы P(t) относится к событию, противоположному появлению отказа F(t). Поэтому F(t)+P(t)=1 или P(t)=1-F(t). Следовательно, P(t) определяется.

В этом случае:
функция распределения отказа F(t) = P(t<t_зад) = Q(t);
плотность распределения f(t) = dQ(t)/dt;
вероятность безотказности изделия за время t P(t)=1-Q(t).

Интенсивность отказов (условная плотность вероятности отказов) - отношение f(t) к P(t), см. (4.2.7):
l(t) = f(t) / P(t).

Типичная функция интенсивности отказов изображена на рис. 4.3.2.

Рис. 4.3.2. Типичная функция интенсивности отказов

Участок убывающей интенсивности отказов (t₀-t₁) иногда называют периодом приработки или периодом ранних отказов. Появление отказов в этом периоде обычно вызывается конструктивными или производственными дефектами.

Участок постоянной интенсивности отказов (t₁-t₂) называют периодом нормальной эксплуатации. Этот период начинается сразу же после периода приработки и заканчивается непосредственно перед периодом износовых отказов.

Период износовых отказов начинается тогда, когда элемент (устройство) выработал свой ресурс, вследствие чего число отказов в этом периоде начинает возрастать.

Отказы, появляющиеся в периоде нормальной эксплуатации, называют внезапными, так как они появляются в случайные моменты времени, или, другими словами, внезапно, непредсказуемо.