Исследование приближения числа ln7

РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Объект исследования: вещественное число .

Результаты, полученные лично автором: произведен поиск многочленов для определения оценки меры иррациональности .

Мерой иррациональности вещественного числа называется нижняя грань множества чисел , для которых, начиная с некоторого положительного , выполняется неравенство

В 2007 г. К. Ву получил результат оценки меры иррациональности числа

где

Из данного неравенства при следует оценка

Целью исследования является улучшение последней оценки и усовершенствования алгоритма вычисления оценки меры иррациональности. При использовании нового подхода интегральная конструкция основывается на симметризованных многочленах. Некоторые из них были вычислены с помощью программы, реализованной на языке C++ с использованием библиотеки для работы с большими числами NTL.

Искомые квадратичные многочлены имеют следующий вид:

где

Для оптимизации перебора коэффициентов многочленов используются ограничения значений показателей, проверка принадлежности корней требуемым отрезкам и отсечение части диапазона поиска. Вычисления осуществляются в параллельном режиме.

В результате выполнения программы и анализа выходных наборов значений были выделены многочлены, подходящие по условиям задачи. Добавление их в общую конструкцию позволило получить новую оценку меры иррациональности, которая составила

Материал поступил в редколлегию 27.04.2017

УДК 511.36

А.В. Волкова

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,

к. ф.-м. н. Е.С. Золотухина

ПОЛУЧЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА В ВИДЕ ЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ ОТ 1 И С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Объект исследования: симметризованный интеграл.

Результаты, полученные лично автором: получено представление интеграла в виде линейной формы от 1 и с целыми коэффициентами.

В последние годы был улучшен ряд важных оценок мер иррациональности значений некоторых действительных чисел. Доказательства этих результатов чаще всего используют интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел. Большой интерес представляют симметризованные интегралы.

Цель работы – получить представление симметризованного интеграла в виде линейной формы от 1 и с целыми коэффициентами.

Рассмотрим интеграл

, (1)

где N, .

Подынтегральная функция обладает свойством симметрии

,

ввиду которого справедливо следующее разложение в сумму простейших дробей

,

где , Z, ,

.

Впервые подобный по структуре интеграл был использован В.Х. Салиховым для улучшения оценки меры иррациональности числа .

Пусть далее для N.

Коэффициенты разложения можно определить в следующей лемме.

Лемма 1. Для всех справедливо представление

, Z.

Используя лемму 1, интеграл можно представить в виде линейной формы от 1 и с целыми коэффициентами.

Лемма 2. Справедливо представление вида

, где Z. (3)

С помощью представления (3) может быть получена оценка меры иррациональности числа .

Материал поступил в редколлегию 17.04.17

УДК 519.2

А.Ю. Волкова, Ю.О. Савраскина

Научный руководитель: ассистент кафедры «Высшая математика»,

А.О. Алейникова