Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон [46, 67–69].

Введем следующие обозначения:

i (%) – простая годовая ставка ссудного процента;

i – относительная величина ставки процентов;

I_г– сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I – общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р – величина первоначальной денежной суммы;

S – наращенная сумма;

k_н – коэффициент наращения;

п – продолжительность периода начисления в годах;

д – продолжительность периода начисления в днях;

К – продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент. Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта.

Вариант 1: используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

Вариант 2: применяется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:

i(%) = (Iг /P)100 %.

(11.6)

i = Iг /P.

(11.7)

I = Iг n.

(11.8)

S=P + I.

(11.9)

kн = S/P.

(11.10)

n = д/К .

(11.11)

Применяя последовательно формулы (11.9), (11.8), (11.7) и (11.11), получаем основную формулу для определения наращенной суммы:

S = P(1+ni),

(11.12)

или

S = P (1+ (д /K)i).

(11.13)

Если необходимо узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S, тогда Р называется современной (текущей, настоящей приведенной) величиной суммы S. Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S – компаудингом [45, 69, 80, 83].

Из формулы (11.12) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

P = S/(1+ni).

(11.14)

Преобразуя формулу (11.12) получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

n = (S-P)/Pi.

(11.15)

д = (S -P) K/ Pi.

(11.16)

i = (S -P)/ Pn.

(11.17)

д = (S -P) K/ Pд.

(11.18)

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n₁,n₂,.., n_N используются ставки процентов i₁,i₂,.., i_N , по формулам (11.7) и (11.8) сумма процентных денег в конце первого интервала составит:

I1 =Pn1i1,

(11.19)

в конце второго интервала:

I2 =Pn2i2.

(11.20)

При N интервалах начисления наращенная сумма составит:

.	(11.21)
Для множителя наращения, следовательно, имеем: .	(11.22)

Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (ссуды). Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом [46, 67−69].

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, то есть разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой [68].

Обозначения:

d(%) – простая годовая учетная ставка;

d – относительная величина учетной ставки;

Dг – сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D – общая сумма процентных денег;

S – сумма, которая должна быть возвращена;

Р – сумма, получаемая заемщиком.

Согласно определениям, имеем следующие формулы:

d = d(%)/100% = Dг/S.

(11.23)

Dг = dS.

(11.24)

D = nDг = ndS.

(11.25)

P = S – D = S(1-nd) = S (1-(д/K)d).

(11.26)

Преобразуя последнее выражение (10.21), получаем формулу для определения наращенной суммы:

.

(11.27)

Из формулы (11.27) видно, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Поэтому выражение (11.27) имеет смысл только в случае, когда знаменатель дроби в правой части строго больше нуля, то есть (1 – n d) > 0, или d < 1/п. Практика показывает, что со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни [79, 83]. Учетные ставки применяются главным образом при учете (покупке) векселей и других денежных обязательств.

Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

n = (S-P)/Sd.

(11.28)

d = (S-P)/Sn = (S-P)K/Sд.

(11.29)