Об учете систематических погрешнсотей в результатах измерений

Выше говорилось о сложностях выявления и учета систематических погрешностей в результатах измерений. Во многих случаях приходится специально исследовать влияние систематических погрешностей либо совершенствовать методику или программу измерений с целью их исключения или ослабления.

Далее рассмотрим простейший случай выявления и учета указанных погрешностей при выполнении эталонирования измерительного прибора, т.е. при определении точности работы прибора. Заметим, что в этом случае измеряемая величина известна, и значение СКП следует определять по формуле Гаусса (3.9). Кроме того, считаем, что систематическая погрешность постоянна по величине и знаку во всем диапазоне значений результатов измерений.

Если результаты измерений содержат систематическую погрешность Dсист, то, очевидно, и значение среднего арифметического хо¢ исследуемого ряда хi также будет содержать ту же погрешность:

хо¢ = Х + Dсист , (3.32)

откуда находим

Dсист = хо¢ - Х . (3.33)

Таким образом, истинные погрешности результатов измерений будут содержать как случайные Dсл , так и систематические погрешности Dсист:

Di = хi – Х = Dсл + Dсист . (3.34)

Предположим, что нами установлена величина систематической погрешности, тогда в ряду погрешностей её можно исключить и образовать ряд случайных погрешностей

Dсл = Di - Dсист ,(3.35)

обработка которого выполняется по алгоритму, приведенному в примере 3.5.

В табл. 3.5 приведен простейший пример обработки результатов геодезических измерений (измерение горизонтального угла), содержащих систематическую погрешность.

Пример 3.8. Обработка результатов измерения горизонтального угла βо = 63º47'33" теодолитом Т2, содержащих систематическую погрешность.

Решение.

Вычисляем среднее значение горизонтального угла по результатам произведенных измерений: βо´ = [βi´] /n = 63º 47' 34,3".

Систематическая погрешность определяется разностью Δсист = (βо´ - βо) = + 1,3".

Исключаем из результатов измерений систематическую погрешность: βi = (βi´ - Δсист).

Образуем ряд случайных погрешностей Δсл = (βi - βо) и возведем их значения в квадрат.

Получим сумму квадратов уклонений от истинного значения: [Δсл2] = 23,43.

Поскольку измеряемая величина была известна, то для определения СКП результата измерения используем формулу Гаусса (3.9):

Об учете систематических погрешнсотей в результатах измерений - student2.ru

СКП СКП (mm) для рассматриваемого примера определим по формуле (3.11):

Об учете систематических погрешнсотей в результатах измерений - student2.ru

С учетом этого можно записать, что mβ ≈ 2".

Вопрос же появления систематической погрешнсоти в измерениях, равной примерно половине точности измерения угла, необходимо исследовать особо. Такая погрешность может получиться, например, из-за сравнительно большой погрешности центрирования измерительного средства в вершине измеряемого угла, т.е. из-за смещения центра прибора относительно вершины измеряемого угла. Если, например, длины сторон измеряемого угла равны 100 м, то погрешнсоть центрирования всего в 1 мм может дать систематическую погрешнсоть в измеренном угле в 2'', вполне сравнимую с требуемой точностью измерения угла. При указанных условиях центрировать прибор следует весьма и весьма тщательно.

Таблица 3.5

К примеру 3.8

№№ п/п Результаты измерения, βi´ Система-тическая погрешность, Δсист Исправленные значения результатов измерений, βi Уклонения от истинного значения, Δсл Квадраты уклонений, Δсл2
63º 47' 34" + 1,3" 63º 47' 32,7" - 0,3" 0,09
38" + 1,3" 36,7" + 3,7" 13,69
33" + 1,3" 31,7" - 1,3" 1,69
35" + 1,3" 33,7" + 0,7" 0,49
35" + 1,3" 33,7" + 0,7" 0,49
32" + 1,3" 30,7" - 2,3" 5,29
63º 47' 33" + 1,3" 63º 47' 31,7" - 1,3" 1,69

В геодезии принято следующее правило: если погрешность от какого-либо источника составляет 1/3 – 1/5 от величины случайной погрешности измерений, то такую погрешность можно считать «ничтожной» (критерий «ничтожной погрешности») и не учитывать при обработке ряда случайных погрешностей. В данном случае указанный критерий применим и для систематических погрешностей. При меньших требованиях к точности измерений критерий «ничтожной погрешности» допускается устанавливать и по уровню 1/2.

Кстати, в примере 3.8 критерий «ничтожной погрешности» нельзя было применить, т.е. необходимо было учитывать величину систематической погрешности, что и было сделано при расчётах: систематическая погрешность примерно в полтора раза оказалась меньше случайной, характеристикой которой является СКП одного измерения. Это не подходит даже и для самого низкого принимаемого уровня «ничтожной погрешности».

Наши рекомендации