Средняя квадратическая погрешность двойных равноточных однородных измерений

В абсолютном большинстве случаев в геодезических работах производят двукратные измерения однородных величин: длин линий (примерно одинаковых по величине), горизонтальных углов (образованных примерно одинаковыми по величине сторонами), превышений и др. Также, как и при многократных измерениях одной величины, здесь возникает необходимость оценки точности измерений, т.е. определения СКП разности двойных измерений.

Предположим, что мы имеем ряд из n парных равноточных измерений х_i и x_i^´ , для которых можно составить разности d_i :

d_i = x_i - x_i^´ . (3.36)

В этом случае, полагая, что в исследуемом ряду в разностях не содержатся систематические погрешности, можно записать для СКП разности

. (3.37)

Поскольку измерения равноточные, то можно записать, что

, (3.38)

где m – СКП одного измерения.

С учетом (3.37) и (3.38) получим

. (3.39)

Двойные измерения одной величины позволяют в большой степени обнаружить систематические погрешности одного знака и примерно одной величины (односторонние погрешности). Если систематические погрешности отсутствуют, то сумма разностей двойных измерений весьма близка к нулю, т.е. [d] = 0. Наличие в измерениях систематической погрешности приводит к её накоплению в сумме разностей двойных измерений, в связи с чем получится величина Q = [d]. При n измерениях доля накопленной систематической погрешности в каждой разности будет составлять

. (3.40)

Если из значений разностей двойных измерений исключить величину систематической погрешности,

, (3.41)

то СКП разности можно вычислить по формуле

, (3.42)

а СКП одного измерения – по формуле

. (3.43)

Пример 3.9. В табл. 3.6 приведена обработка результатов двойных равноточных однородных измерений длин линий светодальномером. Требуется определить наличие в результатах измерений систематической погрешности и выполнить оценку точности одного измерения.

Решение.

Разности d в таблице получены как 1-е измерение минус 2-е измерение.

Сумма разностей двойных измерений [d] = - 0,046 м, что говорит о наличии в результатах двойных измерений систематической погрешности. Её значение равно q_i = [d] /n = = -0,046 : 9 = -0,005 м.

Образуем ряд случайных погрешностей, см. формулу (3.34), и возведём полученные уклонения в квадрат (для сокращения записи введён сомножитель 10^-6).

Сумма квадратов уклонений [δ_i²] = 237 · 10^-6 = 0,000237.

СКП разности двойных измерений

м.

СКП одного измерения m = m_d / = 0,0054 / 1,41= 0,004 м.

Таблица 3.6

К примеру 3.9

№№ п/п	1-е измерение, хi , м	2-е измерение, хi´ , м	Разности, di , м	Система-тическая погрешность, qi	Случайная погрешность, δi	δi2∙10-6
	647,263	647,261	+ 0,002	- 0,005	+ 0,007
	624,850	624,857	- 0,007	- 0,005	- 0,002
	636,304	636,315	- 0,011	- 0,005	- 0,006
	652,842	652,844	- 0,002	- 0,005	+ 0,003
	638,219	638,209	- 0,010	- 0,005	- 0,005
	625,347	625,346	+ 0,001	- 0,005	+ 0,006
	644,936	644,936	0,000	- 0,005	+ 0,005
	650,027	650,015	- 0,012	- 0,005	- 0,007
	641,006	641,013	- 0,007	- 0,005	- 0,002

Следует иметь в виду, что значение m получено как вероятная погрешность по девяти парным измерениям сравнительно одинаковых длин линий. Случайные погрешности в измерениях 1, 3, 6 и 8 превышают полученное значение m_d. Независимо от этого принято считать, что любая из линий измерена со средней квадратической погрешностью 0,004 м.

Среднее значение любой измеренной линии имеет погрешность М = = 0,003 м, как это следует из формулы (3.21) для двух измерений.