Методи перетворення ортогонального креслення

4.1. Загальні відомості.Розв’язання складних геометричних задач супроводжується великою кількістю графічних побудов, що ускладнює аналіз та розуміння креслення. Для отримання розв’язку задачі з мінімальною кількістю побудов використовують методи перетворення ортогонального креслення. Всі методи, які використовуються в нарисній геометрії ділять на дві групи:

- методи, в яких об’єкт проекціювання залишається незмінним, а система П₁, П₂, П₃ доповнюється новими площинами проекцій П₄, П₅, П₆;

- положення площин проекцій П₁, П₂, П₃ залишається незмінним, а змінюється положення об’єкта проеціювання.

Такі перетворення дозволяють значно скоротити кількість побудов на кресленні.

4.2. Метод заміни площин проекцій.Суть методу полягає в тому, що в систему з площин проекцій П₁, П₂, П₃ послідовно вводять нові площини П₄, П₅, П₆, які дозволяють отримати нове положення геометричного образу та спростити розв’яза-ння задач.

В процесі перетворення зберігається ортогональний метод проекціювання. Тобто вісі проекцій розташовані завжди перпендикулярно до ліній проекційного зв’язку.

Розглянемо суть методу на об’ємній моделі Монжа (рис. 4.1).

В цьому випадку в системі площин проекцій Рис. 4.1

П₁/П₂ замість площини П₂ вводять нову площину П₄ і отримують нову систему П₂/П₄. Точку А проекцюють на П₄ (А₄), на вісі Х_1.4 отримують проекцію А_х1.4. Потім суміщають П₄ з П₁ та відмічають рівні відрізки A_zA_x1.2=AA₁=A_x1.4A₄.

Приклад. Побудувати проекції точки А на П₄ та П₅.

1. Площини П₁/П₂ заміняють на П₁/П₄. Х_1.4 ^ А₁А₄, А₂А_х1.2=А_х1.4А₄.

2. Площини П₁/П₂ заміняють на П₂/П₅.

Х_2.5 ^А₂А₅, А₁А_х1.2=А_х2.5А₅ (рис. 4.2). Рис. 4.2

4.3. Розв’язання метричних та позиційних задач.Розв’язання метричних і позиційних задач розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1. Визначити натуральну величину відрізка АВ заміною П₁/П₂ на П₁/П₄.

Для того, щоб визначити натуральну величину АВ треба перевести його із загального положення до прямої рівня, у якої одна з проекцій паралельна до вісі Х.

Х _1.4 ║А₁В₁.

Приклад 2. Відрізок АВ перевести із загального в проекцююче положення.

Рис. 4.3 Розв’язання цієї задачі складається з двох етапів:

1) пряму із загального положення переводять в пряму рівня (рис 4.3);

2) пряму рівня переводять до проекцюючої прямої Х _4.5┴А₄В₄.

Приклад 3. Визначити відстань між мимобіжними прямими АВ та СD.

Для розв’язання цієї задачі необхідно:

1) одну з мимобіжних прямих перевести із загального положення до проекцюючого;

2) з цієї точки опустити перпендикуляр на проекцію іншої прямої;

3) побудувати проекції перпендикуляра на всіх площинах проекцій.

1. П₁/П₂→П₁/П₄ x _1.4║C₁D₁.

2. x _4.5┴C₄D₄.

3. C₅K₅┴A₅B₅=K₅;

(C₅K₅ – відстань).

4. K₄ є A₄B₄.

5. K₄L₄┴C₄D₄.

6. K₁ є A₁B₁;

L₁ є C₁D₁.

7. K₂ є A₂B₂;

L₂ є C₂D₂ (рис. 4.4). Рис. 4.4

Приклад 4. Визначити натуральну величину ∆АВС.

В цьому випадку необхідно:

1) виконати дві заміни площин проекцій;

2) в результаті першої заміни перевести (АВС) із загального положення до проекцюючого;

3) в результаті другої заміни нову площину проекцій розташувати паралельно до площини трикутника, на якій і отримати розв’язок.

План розв’язання.

1. П₁/П₂→П₁/П₄.

Для виконання перетворень необхідно виконати умову Рис. 4.5

перпендикулярності двох площин (трикутника та П₄), а тому в площині трикутника будуємо горизонталь:

h є ABC;

x _1.4┴h.

2. П₁/П₄→П₄/П₅;

х _4.5 ║А₄В₄С₄ (рис. 4.5).

Контроль правильності рішень: ∆АВС – найбільший на кресленні.

Приклад 5. Визначити величину двогранного кута.

Для розв’язання цієї задачі необхідно двогранний кут перетворити Рис. 4.6

в лінійний, при цьому ребро двогранного кута АВ перевести із загального положення в проекцююче.

1. П₁/П₂→П₁/П₄;

Х _1.4║А₁В₁.

2. П₁/П₄→П₄/П₅

Х _4.5┴ А₄В₄;

<C₅A₅B₅ (рис. 4.6).