Рекомендации и примеры по проектированию деревянных конструкций 3 страница

Расчетная нагрузка на 1 м фермы:

постоянная

q_п = (g_п + g_св)b = (0,323 + 0,141)3 = 1,392 кН/м;

временная

q_сн = P_снb = 1,59×3 = 4,77 кН/м;

суммарная

q = q_п + q_сн = 1,392 + 4,77 = 6,162 кН/м.

В соответствии с принятой схемой фермы сосредоточенная нагрузка, приходящаяся на одни узел верхнего пояса(узлы Ж, Д, Г), равна

G = 1,392×2,084 = 2,901 кН - постоянная;

P = 4,77×2,084 = 9,941 кН - временная.

Схема единичных нагрузок на ферму при загружении половины пролета и диаграмма усилий показаны на рис. 35.

Вследствие отличия размеров опорной и промежуточных панелей верхнего пояса фермы сосредоточенная нагрузка, приходящаяся на узел Б, составляет (2,084/2 + 2,648/2)/2,084 = 1,14 от единичной нагрузки, а сосредоточенная нагрузка, приходящаяся на стойку опорного узла фермы, составляет 2,648/2/2,084 = 0,64 от единичной нагрузки.

Опорные реакции равны

R_В = [0,5×17,8/2 + 1×(2,648 + 2×2,084) + (2,648 + 2,084) + 1,14×2,648]/17,8 = 1,07;

R_А = 0,5 + 1 + 1 + 1,14 +0,64 - 1,07 = 3,21.

Расчетные усилия в элементах фермы приведены в табл. 23.

При расчете и конструировании элементов фермы и узловых соединений предусматривались максимальная унификация сечений деревянных элементов и стальных изделий, использование древесины 2-го и 3-го сортов и центрирование всех узлов фермы по геометрическим осям.

Соединение опорного раскоса с нижним поясом решено лобовым упором во вкладыш, прикрепленный при помощи тяжей и деревянных накладок к нижнему поясу. Коньковый узел фермы решен лобовым упором брусьев верхнего пояса и парных накладок, скрепленных стяжными болтами.

Таблица 23

Элемент фермы	Номера стержней	Обозначения усилий в стержня x	Длина стержней в осях, см	Усилия от единичной нагрузки, кН	Усилия от постоянной нагрузки, кН	Усилия от временной нагрузки, кН	Расчетные усилия, кН
слева	справа	полной	слева	справа	полной
Верхний пояс	3-10	O1		-5,15	-2,59	-7,74	-22,6	-51,2	-25,7	-76,9	-99,5
4-11	O2		-5,15	-2,59	-7,74	-22,6	-51,2	-25,7	-76,9	-99,5
5-13	O3		-3,22	-3,22	-6,48	-18,7	-32	-32,4	-64,4	-83,1
Нижний пояс	7-9	U1		+4,77	+1,83	+6,6	+ 19,2	+47,4	+18,2	+65,6	84,8
7-12	U2		+4,27	+2,88	+7,15	+ 20,8	+42,5	+28,6	+71,1	91,9
Раскосы	8-9	D1		-5,43	-2,11	-7,54	-21,9	-53,9	-21	-74,9	-96,8
9-10	D2		+0,262	+0,822	+1,084	+3,14	+2,61	+8,17	+10,78	13,92
11-12	D3		+1,1	-0,58	+0,52	+1,51	+10,94	-5,77	+5,17	12,45
12-13	D4		-1,79	+0,4	-1,39	-4,03	-17,79	+3,98	-13,82	-21,82
Стойки	1-8	V1		-0,643		-0,643	-1,86	-6,39		-6,39	-8,25
10-11	V2		-1,004		-1,004	-2,91	-9,98		-9,98	-12,89
13-14	V3		+1,084	+1,084	+2,168	+6,29	+10,78	+10,78	+21,56	27,85
Опорные реакции		RА	-	3,21	1,07	4,28	12,42	31,91	10,64	42,55	54,97
	RВ	-	1,07	3,21	4,28	12,42	10,64	31,91	42,55	54,97

Сопряжение опорного раскоса с верхним поясом осуществляется также лобовым упором. Стыки растянутого нижнего пояса решены на сквозных стальных нагелях и деревянных накладках. Узлы крепления раскосов и стоек к поясам фермы решены в виде двусторонних накладок из полосовой стали, прикрепляемых к поясам посредством центрового болта, а к элементам решетки фермы гвоздями винтовыми или обычными.

Рис. 35. Расчетная схема нагружения фермы и диаграмма усилий в ее элементах

Расчет верхнего пояса без учета его неразрезности

Внеузловая нагрузка от прогонов в панелях 3-10, 4-11, 5-13 равна

P = (g_п + P_сн)S_прl_прcos α = (0,323 + 1,59)1,075×3×0,97 = 5,98 кН.

Эта нагрузка приложена по середине каждой панели.Изгибающий момент в середине панели

M = Pl/4 = 5,98×2,15/4 = 3,21 кН×м.

Верхний пояс принимаем из брусьев сечением 150 ´ 150 мм и проверяем его на сжатие с изгибом по СНиП II-25-80, п. 4.17. Расчетные сопротивления древесины 3-го сорта, изгибу, сжатию и смятию согласно СНиП II-25-80, табл. 3, п. 1в

R_и = R_с = R_см = 15/γ_n = 15/0,95 = 15,8 МПа,

где γ_n - коэффициент надежности по назначению зданий.

Для принятого сечения предварительно определяем

W_расч = 150×150²/6 = 562,5×10³ мм³;

F_бр = F_расч = 150×150 = 225×10² мм²;

λ = l/(0,289h) = 2150/(0,289×150) = 49,6;

φ = 3000/λ² = 3000/49,6² = 1,22;

ξ = 1 - N/(φR_сF_бр) = 1 - 99,5×10³/(1,22×15,8×225×10²) = 0,77;

K_и = α_и + ξ(1 - α_и) = 1,22 + 0,77(1 - 1,22) = 1,05;

N/F_расч + M/(K_иξW_расч) = 99,5×10³/225×10² + 3,21×10⁶/(1,05×0,77×562,5×10³) = 4,42 + 7,06 = 11,48 < R_с = 15,8 МПа.

Проверки устойчивости пояса из плоскости фермы не требуется, поскольку l_р = 1,075 ≈ 7b = 7×0,15 = 1,05 м.

Панель 2-8 подвержена только изгибу от давления прогонов. Определяем величины нагрузок P₁, P₂, P₃ и опорные реакции от этих нагрузок R₁ и R₂ в начале и конце панели 2-8 (рис. 36)

P₁ = P(0,08 + 0,5/2)/1,075 = 5,98×0,33/1,075 = 1,84 кН;

P₂ = P(0,5/2 + 1,075/2)/1,075 = 5,98×0,7875/1,075 = 4,38 кН;

P₃ = P = 5,98 кН;

R₁ = (1,84×2,65 + 4,38×2,15 + 5,98×1,075)/2,73 = 7,55 кН;

R₂ = 1,84 + 4,38 + 5,98 - 7,55 = 4,65 кН.

Рис. 36. Схемы нагружения фермы единичной узловой силой и диаграммы усилий

Максимальный изгибающий момент в панели 2-8 будет M = 4,65×1,075 = 5 кН×м.

Верхний пояс для этой панели принимаем конструктивно спаренного сечения 2 ´ 70 ´ 150 мм из пиломатериалов 2-го сорта.

Проверяем прочность сечения при изгибе

M/W = 6×5×10⁶/(2×70×150²) = 9,5 < R_и/γ_n = 130/0,95 = 13,7 МПа.

Расчет верхнего пояса с учетом неразрезности

Расчет верхнего пояса фермы производим по схеме неразрезности трехпролетной балки на оседающих опорах. Опорами балки являются узлы фермы. Осадки этих опор определяем по известной формуле строительной механики

где N_i - осевое усилие в элементах фермы от единичном силы, приложенной в том узле, вертикальное перемещение которого определяется; N - расчетное осевое усилие в элементах фермы от полной нагрузки по всему пролету; l - длина элемента фермы; F_бр - площадь брутто поперечного сечения элемента фермы; E'_пр - приведенный модуль упругости материала элемента фермы, определяемый согласно п. 6.29.

Схемы единичных нагрузок на ферму и соответствующие диаграммы усилий от них даны на рис. 36, вычисления осадок Δ_i приведены в табл. 24, согласно которой суммарные перемещения Δ₀ = 54 мм, Δ₁ = 90 мм, Δ₂ = 84 мм, Δ₃ = 75 мм.

Производим деформационный расчет сжато-изгибаемой неразрезной трехпролетной балки на проседающих опорах Б, Г, Д, Ж (см. рис. 34), используя для этого уравнения метода сил. (Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. М., 1960, п. 16.5.1.)

Составляя уравнения трех моментов и опуская промежуточные вычисления, получаем значения моментов на опорах Г и Д: M_г = 0,007 кН×м; M_q = -0,533 кН×м.

Вычисляем изгибающие моменты:

в пролете БГ

M_д = Pl₁/4 + M_г/2 = 5,98×2,15/4 + 0,007/2 = 3,22 кН×м;

в пролете ГД

M_д = Pl₂/4 + (M_г + M_q)/2 = 5,98×2,15/4 + (0,007 - 0,533)/2 = 2,95 кН×м;

в пролете ДЖ

M_д = Pl₃/4 + M_q/2 = 5,98×2,15/4 - 0,533/2 = 2,95 кН×м.

Расчетным является пролет БГ

Проверяем прочность сечения в этом пролете при сжатии с изгибом

N/F_расч + M_д/W_расч = 99,5×10³/225×10² + 3,22×10⁶/562,5×10³ = 10,15 < R_с/γ_n = 11×0,95 = 11,6 МПа.

Расчет нижнего пояса

Расчетное усилие U₂ = 91,9 кН. Требуемая площадь сечения пояса брутто

F_бр = U₂/(0,75R_р) = 91,9×10³/(0,75×5,9) = 2,08×10⁴ мм²,

здесь площадь ослабления принята в первом приближении 25 % от площади брутто;

расчетное сопротивление растяжению древесины 2-го сорта с учетом коэффициентов γ_n и m₀:

R_р = m₀×7/γ_n = 0,8×7/0,95 = 5,9 МПа.

Таблица 24

Наименование стержней	F, мм2	m	, мм	Усилие от расчетной нагрузки Nр, Н	Eпр, МПа	Δ0, мм	Δ1, мм	Δ2, мм	Δ3, мм
Усилие N0 от Р0 = 1		Усилие N1 от Р1 = 1		Усилие N2 от Р2 = 1		Усилие N3 от Р3 = 1
2-5	2,25×104		1,5	-99500	2631,6	-1,08	+3,902	-1,83	+6,612	-1,56	+5,636	-1,24	+4,48
2-6	2,25×104			-99500		-1,08	+2,282	-1,83	+3,867	-1,56	+3,296	-1,24	+2,62
2-8	2,25×104		1,5	-83100	2432,3	-0,5	+1,632	-0,81	+2,644	-1,2	+3,918	-1,52	+4,963
3-9	2,25×104		1,5	-83100	2432,3	-0,5	+1,632	-0,81	+2,644	-1,2	+3,918	-1,52	+4,963
3-11	2,25×104			-99500		-0,45	+0,951	-0,66	+1,394	-1	+2,113	-1,24	+2,62
3-12	2,25×104		1,5	-99500	2631,6	-0,45	+1,626	-0,66	+2,385	-1	+3,613	-1,24	+4,48
2-4	2,25×104			-96800	2199,1	-1,82	+10,68	-1,54	+9,037	-1,32	+7,746	-1,05	+6,162
4-5	1,05×104			+13920	380,74	-0,71	-6,205	+0,5	+4,37	+0,415	+3,627	+0,34	+2,972
5-6	1,05×104			-12890	277,88			-1	+8,527
6-7	1,05×104			+6680	235,06	+0,53	+4,474	+0,94	+7,935	-0,315	-2,659	-0,25	-2,11
7-8	2,25×104			-17850	300,12	-0,34	+2,812	-0,61	+5,045	-0,88	+7,278	+0,17	-1,406
8-9	2,25×104		4,5	+27850		+0,24	+1,128	+0,4	+1,879	+0,59	+2,772	-0,24	-1,128
9-10	2,25×104			-17850	300,12	+0,05	-0,414	+0,095	-0,786	+0,105	-0,868	+0,17	-1,406
10-11	1,05×104			+6680	235,06	+0,06	+0,506	-0,135	-1,14	-0,18	-1,519	-0,25	-2,11
11-12	1,05×104			-12890	277,83
12-13	1,05×104			+13920	380,74	+0,075	+0,561	+0,21	+1,572	+0,245	+1,834	+0,34	+2,545
3-13	2,25×104	о	4,5	-96800	1087,5	-0,41	+4,866	-0,53	+6,291	-0,61	+7,24	-1,05	+12,462
1-4	2,25×104	о	3,5	+84800	2389,2	+1,62	+12,087	+1,35	+10,073	+1,18	+8,804	+0,92	+6,864
1-7	2,25×104			+91900	2187,9	+0,7	+5,449	+1,17	+9,108	+1,71	+13,311	+1,37	+10,665
1-10	2,25×104			+91900	2187,9	+0,46	+3,581	+0,71	+5,527	+1,04	+8,096	+1,37	+10,665
1-13	2,25×104		3,5	+84800	2389,2	+0,36	+2,686	+0,45	+3,358	+0,765	+5,708	+0,92	6,864

Стык нижнего пояса осуществляем двумя боковыми накладками на нагелях диаметром 16 мм.

Согласно СНиП II-25-80 табл. 17, расчетную несущую способность T, кН, цилиндрического нагеля на один шов сплачивания определяем:

по смятию среднего элемента стыка

T₁ = 0,5cd = 0,5×15×1,6 = 12 кН;

по смятию крайних элементов стыка

T₂ = 0,8ad = 0,87×1,6 = 9 кН;

по изгибу нагеля

T₃ = 1,8d² + 0,02a² = 1,8×1,6² + 0,02×7² = 5,6 < 250 = 250×1,6² = 6,4 кН.

Требуемое количество двусрезных нагелей по одну сторону стыка

n = U₂(2T₃) = 91,9/(2×5,6) = 8,2 шт.

Принимаем 10 нагелей, из них 4 нагельных болта для стяжки накладок с поясом.

Проверяем прочность стыка

U₂/F_нт = 91,9×10³/1,65×10⁴ = 5,6 < R_р = 5,9 МПа,

где F_нт = 2(70×150 - 2×16×70) = 1,65×10⁴ мм².

Расчет элементов решетки

Раскос 8-9.

Расчетное усилие сжатия Д₁ = 96,8 кН, длина раскоса l₁ = 3×10³ мм.

Принимаем сечение 150 ´ 150 мм, F_бр = 2,25×10⁴ мм²;

λ = l₁/(0,289b) = 300/(0,289×15) = 69,2 < 70;

φ = 1 - a(λ/100)² = 1 - 0,8(69,2/100)² = 0,617;

Д₁/(φF_бр) = 96,8×10³/(0,617×2,25×10⁴) = 6,98 < R_с = 11,6 МПа.

Расчетные усилия в раскосе Д₃ = 12,45 кН; Д'₃ = -4,26 кН; длина l₂ = 323 см.

Принимаем сечение 70 ´ 150 мм из пиломатериала 2-го сорта и проверяем его на устойчивость

Д'₃/(φF_расч) = 4,26×10³/(0,118×70×150) = 3,44 < R_с = 13,7 МПа.

Здесь φ = 3000/λ² = 3000/159² = 0,118,

λ = l₂/(0,289h) = 3,23×10³/(0,289×70) = 159 > 150 (табл. 14 СНиП II-25-80).

Сечение раскоса не увеличиваем, учитывая значительное его недонапряжение по сжатию, и проверку по растяжению не производим ввиду очевидного запаса. Раскос 9-10 принимаем такого же сечения 70 ´ 150 мм.

Раскос 12-13

Расчетное усилие Д₄ = -21,82 кН, длина l₃ = 3,23×10³ мм.

Принимаем сечение 150 ´ 150 мм из древесины 3-го сорта и проверяем на устойчивость

Д₄/(φF_расч) = 21,82×10³/(0,539×2,25×10⁴) = 1,8 < R_с = 8,9 МПа,

где

φ = 3000/λ² = 3000/74,6² = 0,539;

λ = 3,23×10³/(0,289×150) = 74,6.

Опорную стоику 1-8 и стойку 10-11 принимаем конструктивно сечениями 70 ´ 150 мм из древесины 3-го сорта.

Стойка 13-14

Расчетное усилие растяжения V₃ = 27,85 кН. Принимаем сечение стойки в виде тяжа из арматурной стали класса А-II диаметром d = 16 мм, F_нт = 140,8 мм²;

V₃/F_нт = 27850/140,8 = 198 < 0,8R_aγ_с/γ_n = 0,8×285×0,9/0,95 = 216 МПа,

где R_a = 285 МПа расчетное сопротивление арматурной стали А-II; 0,8 - коэффициент уменьшения расчетного сопротивления тяжей; γ_с = 0,9 - коэффициент условий работы.

Расчет и конструирование узлов

Маркировка узлов дана на рис. 34.

Опорный узел А (рис. 37).

Конструируем узел в виде лобового упора раскоса во вкладыш. Вкладыш крепится к нижнему поясу фермы с помощью упора из уголков, стальных тяжей и деревянных боковых накладок, присоединяемых нагелями к нижнему поясу фермы.

Проверяем вкладыш на смятие усилием сжатия опорного раскоса Д₁ = 96,8 кН. Площадь смятия определяем за вычетом небольшого свеса сечения раскоса, равного 16 мм, который получился при компоновке узла,

F_см = 150×150 - 150×1,6 = 2,01×10⁴ мм².

Угол наклона раскоса к оси нижнего пояса определяем по рис 36:

tg α = (0,75 + 2,25×2,648/8,9)/2,648 = 1,42/2,648 = 0,536; α = 28°12'.

Напряжение смятия

σ_см = Д₁/F_см = 96,8×10³/2,01×10⁴ = 4,8 < R_смα/γ_n = 7,6/0,95 = 8 МПа,

где R_смα - расчетное сопротивление древесины 3-го сорта смятию под углом α = 28°12' к направлению волокон, определяемое по формуле (2) СНиП II-25-80.

Боковые накладки принимаем сечением 70 ´ 150 мм. Крепление их к нижнему поясу осуществляем на 10 нагелях диаметром 16 мм, 5 из которых являются болтовыми.

Проверяем боковые накладки на сжатие

U₁/F_нт = 81,8×10³/[2(70×150 - 2×16×70)] = 5,13 < R_с = 13,7 МПа.

Определяем требуемое сечение растянутых четырех тяжей из арматурной стали А-II.

F_нт = U₁γ_n/(R_aγ_сm_am) = 84,8×10³×0,95/(285×0,9×0,8×0,85) = 457 мм²,

где m = 0,85 - коэффициент, учитывающий неравномерную работу тяжей (СНиП II-25-80, п. 3.4).

Рис. 37. Конструкции опорного узла «А» брусчатой фермы

1 - болты диаметром 16 мм; 2 - нагели диаметром 16 мм; 3, 4, 5 - уголки 15 ´ 75 ´ 6; 6 - полоса 465 ´ 50 ´ 3 мм; 7, 8 - болты диаметром 16 мм; 9 - деревянная накладка 1020 ´ 150 ´ 70 мм; 10 - гвозди с нарезкой K5 ´ 70

Принимаем тяжи диаметром 16 мм с площадью F_нт = 4×140,8 = 563,2 > 457 мм².

Проверяем прочность при изгибе горизонтальных уголков. Погонная нагрузка, приходящаяся на два уголка, находится

q = U₁/b = 84800/150 = 505 Н/мм,

изгибающий момент в середине пролета

M = 565×150×110/2 - 565×75²/2 = 4,66×10⁶ - 1,59×10⁶ = 3,07×10⁶ Н×мм;

требуемый момент сопротивления одного уголка

W_уг = Mγ_n/(2R_yγ_с) = 3,07×10⁶×0,95/(2×245,0×0,95) = 6,27×10³ мм²,

где R_y = 245 МПа - расчетное сопротивление по пределу текучести стали ВСт3пс толщиной 4 - 10 мм.

Принимаем уголки 75 ´ 75 ´ 6 мм по ГОСТ 8509-72 с изм., для которых

I_x = 46,6×10⁴ мм⁴; Z₀ = 20,6 мм; W_x = I_x/(b_уг - Z₀) = 46,6×10⁴/(75 - 20,6) = 8,57×10³ > W_уг = 6,27×10³ мм³.

Сечение вертикальных уголков принимаем также 75 ´ 75 ´ 6 мм.

К нижнему концу опорной стойки на гвоздях с нарезкой диаметром 5 мм крепятся двусторонние полосы толщиной 3 мм, шириной 50 мм из стали ВСт3пс. Наибольшая несущая способность одного гвоздя на изгиб составляет (СНиП II-25-80, табл. 17, п. 3):

T = 4d² = 4×0,5² = 1 кН;

требуемое количество гвоздей

n = V₁/T = 8,25/1 = 8,25 шт.,

т.е. по одну сторону стойки достаточно 5 гвоздей. Конструктивно из условия сокращения типоразмеров полос, используемых в остальных узлах фермы, принимаем полосы длиной 540 мм на 16 гвоздях.

Крепление конца стойки к верхнему поясу фермы производится посредством стяжного болта диаметром 16 мм, плотно обжимающего узел. В этом узле болт работает как двусрезный нагель. Угол наклона усилия на болт к продольным волокнам верхнего пояса составляет α = 90° - 14° = 76°, где 14° - угол наклона верхнего пояса. Коэффициент k_α = 0,647 определяем по СНиП II-25-80, табл. 19. Тогда несущая способность двусрезного болта

T = 2×2,5d² = 2×2,5×1,6² = 10,3 > V₁ = 8,25 кН.

Рис. 38. Узел «Б» брусчатой фермы

Определяем ширину опорной подушки из условия смятия ее поперек волокон опорной реакцией фермы R_А = 54,97 кН

b_оп = R_Аγ_n/(bR_см90) = 54,97×10³×0,95/(150×3) = 116 мм.

Принимаем подушку шириной 15 см.

Узел Б (рис. 38)