И относительная погрешности

Для правильного использования результатов измерений необ­ходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погреш­ностей служит предложенная Гауссом cредняя квадратичес­кая погрешность т, вычисляемая по следующей формуле:

, (19.1)

где n – число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встреча­ются редко. В то же время из измерений можно получить резуль­тат, наиболее близкий к истинному значению, – арифметичес­кую средину. Для этого случая средняя квадратическая погреш­ность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

, (19.2)

где δ – отклонение отдельных значений измеренной величины от арифметической середины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [δ] = 0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая по­грешность определяется по формуле.

M = m/ (19.3)

где т – средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (19.1) или (19.2).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды – в прямом и обрат­ном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное прини­мается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая по­грешность одного измерения

, (19.4)

а среднего результата из двух измерений

(19.5)

где d – разность двукратно измеренных величин; п – число раз­ностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах пре­дельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолют­ное большинство случайных погрешностей (68,3 %) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ± m; в интервал от 0 до ±2m попадает 95,4%, а от 0 до ±3m – 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3т. На осно­вании этого в качестве предельной погрешности ∆_пр. для данно­го ряда измерений принимается утроенная средняя квадрати­ческая погрешность, т. е. ∆_пр.= 3т. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ∆_пр. = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосхо­дят ∆_пр. считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величи­не средней квадратичной или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется отноше­ние абсолютной погрешности к значению самой измеренной ве­личины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой – единица, а знаменатель – число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110м при m_l = 2см равна m_l/l = 1/5500, а относительная предельная погрешность при ∆пр. = 3т = 6см ∆_пр./l = 1/1800.

Назад