Основи теорії випадкової похибки
У основі теорії випадкових похибок лежать два припущення:
а) при великій кількості вимірів похибки однакової величини, але різного знаку зустрічаються однаково часто;
б) імовірність появи похибки зменшується зі зростанням її величини (тобто, малі похибки зустрічаються частіше, великі – рідше).
Відповідно до цієї теорії, випадкові похибки підлягають закону нормального розподілу випадкових величин – закону Гаусса. Зміст його полягає в наступному. Припустимо, необхідно виміряти деяку фізичну величину, істинне значення якої нам невідоме. Через випадкові похибки ми, виконавши
окремих вимірювань, замість
одержуємо набір значень
. Виявляється, що за допомогою закону розподілу ми, хоча і не можемо вказати точне значення
, але можемо знайти, з якою ймовірністю
величина
опиниться всередині заданого числового інтервалу значень
. Цей числовий інтервал значень називається довірчим інтервалом,а ймовірність
того, що результат вимірів потрапляє в заданій довірчий інтервал, називається надійною ймовірністю(абонадійністю).Рівень значущості
дорівнює ймовірності того, що величина
не потрапляє у вказаний числовий інтервал.
За законом Гаусса, функція густини розподілу випадкових помилок має вигляд (рис. 1.1):
![]() | (3) |
а надійна імовірність потрапляння випадкової величини в інтервал
визначається так:
![]() | (4) |
![]() |
Рис. 1.1. Функція розподілу Гаусса. |
Тут – набір значень, отриманих при вимірах,
– їх середнє арифметичне (математичне очікування), яке вважається найкращою оцінкою істинного значення результату вимірів. За міру розсіювання (розкиду) значень випадкової величини править дисперсія вибірки
![]() | (5) |
що характеризує швидкість зменшення ймовірності появи похибки зі збільшенням величини цієї похибки. Для характеристики розсіювання результатів вимірів користуються поняттям стандартного відхиленняабо середньої квадратичної (стандартної) похибки окремого виміру , яка дорівнює кореню квадратному з дисперсії вибірки. Величина
характеризує середню похибку результату окремого виміру (тобто похибку самого методу вимірів), і обчислюється за формулою:
![]() | (6) |
Величина є мірою вірогідності результату виміру і входить до функції розподілу Гаусса. Гауссова крива має симетричний дзвіноподібний вигляд і характеризується двома параметрами: положенням вершини
та “шириною”
– відстанню між точками перегину (у яких друга похідна
обертається на нуль). Середнє арифметичне
результатів окремих вимірів являє собою середину довірчого інтервалу, а
характеризує вплив випадкових похибок на результат: чим менше
, тим вужче крива розподілу похибок окремих вимірів, тим точніше проведений вимір. Однак, з іншого боку, чим більш широким вибирається довірчий інтервал, тим вище ймовірність потрапляння випадкового значення
у цей інтервал.
Для генеральної сукупності результатів вимірів, коли , середнє арифметичне
дорівнює істинному значенню
вимірюваної величини, якщо, звичайно, результати вимірів не містять систематичної похибки.
Підставивши із (3) в (4), можна розрахувати надійну ймовірність
для будь-якого довірчого інтервалу
. Наприклад, при великій кількості вимірів (
), вибравши
, одержимо величину надійності
(див. рис. 1.1). Це означає, що 68,3% усіх результатів вимірів належать до інтервалу
. Аналогічно можна показати, що для інтервалу
надійна ймовірність
, а для
відповідно
. Останнє означає, що за межами довірчого інтервалу півшириною
опиняється лише 0,3% результатів усіх вимірів.
Звідси випливає так зване “правило ”:помилку, що виходить за межі числового інтервалу
, вважають промахом(тому що ймовірність її появи всього 0,3%) і виключають результат відповідного виміру з подальшого розгляду. Проте слід нагадати, що
- це генеральне середньоквадратичне відхилення (для дуже великої кількості вимірів
), а отже у звичайних вимірах (для невеликої вибірки,
) воно залишається невідомим. Тому при малих вибірках “правило
”застосовувати не слід. В інженерній практиці зазвичай вважають достатньою надійність
,хоча в деяких випадках (для вимірів, за умовами яких потрібен надзвичайно високий ступінь надійності, наприклад, коли йдеться про життя людей) іноді задають значення надійної імовірності
, тобто ступінь ризику (рівень значущості
) становить лише 0,1%.
Для обмеженої вибірки середнє значення дещо відрізняється від
. Сукупність середніх для деякої кількості вибірок (по
окремих вимірів у кожній вибірці) теж описується функцією розподілу Гаусса
![]() | (7) |
де - середнє значення окремої вибірки,
- середня квадратична (стандартна) похибка середнього.
Основний сенс усереднення результатів багаторазових вимірів полягає в тому, що середнє значення фізичної величини має меншу випадкову похибку, ніж результати окремих вимірів. Операція усереднення не усуває цілком випадковий характер середнього результату, а лише зменшує ширину інтервалу його невизначеності. Як вказувалося вище, величина характеризує точність даного способу вимірів (міру розсіювання результатів окремих вимірів). Однак, середнє значення фізичної величини
є узагальненням результатів усіх
вимірів, тому є всі підстави вважати, що воно є більш надійним, ніж результат кожного окремого виміру. Похибка середнього значення шуканої фізичної величини - середня квадратична (стандартна) похибка середнього обчислюється за формулою:
![]() | (8) |
Якщо в науковій роботі наводиться значення похибки і не вказується надійна ймовірність , то мається на увазі стандартна похибка середнього.
Отже, для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа: величину самої похибки (півширину довірчого інтервалу ) та величину надійної ймовірності
.
Наведені вище значення надійних ймовірностей для інтервалів
,
,
справедливі лише для генеральної сукупності вимірів –їхньої нескінченної безлічі. На практиці ж завжди здійснюється обмежена кількість вимірів – мала вибірка. Як же змінюється вірогідність результату в залежності від кількості вимірів?
Англійський математик В.С. Госсет, який публікував свої роботи під псевдонімом Стьюдент, у 1908 році вивів розподіл похибок середніх значень при малій кількості вимірів. Для великих вибірок ( ) цей розподіл практично збігається з розподілом Гаусса. Розподіл Стьюдента дозволяє за надійною ймовірністю
та кількістю вимірів
визначати відповідний довірчий інтервал. Для цього користуються спеціальною таблицею коефіцієнтів Стьюдента
, що залежать від
та
(табл. 1.1). Коефіцієнти Стьюдента показують, у скільки разів потрібно збільшити стандартний довірчий інтервал, щоб при заданій кількості вимірів
одержати необхідну надійність результату
. За стандартний приймається довірчий інтервал
.
Якщо результати окремих вимірів підлягають нормальному розподілу Гаусса і є однаково точними – тобто виконані на одній апаратурі, з однаковою старанністю і тим самим методом – то випадкова похибка шуканої величини визначають за формулою:
![]() | (9) |
Таблиця 1.1
Коефіцієнти Стьюдента
![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
1,84 | 6,31 | 12,71 | 31,82 | 63,66 | 212,21 | |
1,32 | 2,92 | 4,30 | 6,96 | 9,92 | 18,22 | |
1,20 | 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | 8,89 | |
1,14 | 2,13 | 2,78 | 3,75 | 4,60 | 6,43 | |
1,11 | 2,02 | 2,57 | 3,36 | 4,03 | 5,38 | |
1,09 | 1,94 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | 4,80 | |
1,08 | 1,89 | 2,36 | 3,00 | 3,50 | 4,44 | |
1,07 | 1,86 | 2,31 | 2,90 | 3,36 | 4,20 | |
1,06 | 1,83 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | 4,02 | |
1,05 | 1,81 | 2,23 | 2,76 | 3,17 | 3,89 | |
1,05 | 1,80 | 2,20 | 2,72 | 3,11 | 3,79 | |
1,04 | 1,78 | 2,18 | 2,68 | 3,05 | 3,71 | |
1,04 | 1,77 | 2,16 | 2,65 | 3,01 | 3,64 | |
1,04 | 1,76 | 2,14 | 2,62 | 2,98 | 3,58 | |
1,04 | 1,75 | 2,13 | 2,60 | 2,95 | 3,54 | |
1,03 | 1,75 | 2,12 | 2,58 | 2,92 | 3,49 | |
1,03 | 1,74 | 2,11 | 2,57 | 2,90 | 3,46 | |
1,03 | 1,73 | 2,10 | 2,55 | 2,88 | 3,43 | |
1,03 | 1,73 | 2,09 | 2,54 | 2,86 | 3,40 | |
1,03 | 1,72 | 2,09 | 2,53 | 2,85 | 3,38 | |
1,03 | 1,72 | 2,08 | 2,52 | 2,83 | 3,35 | |
1,02 | 1,72 | 2,07 | 2,51 | 2,82 | 3,34 | |
1,02 | 1,71 | 2,07 | 2,50 | 2,81 | 3,32 | |
1,02 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,80 | 3,30 | |
1,02 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,79 | 3,29 | |
1,02 | 1,71 | 2,06 | 2,48 | 2,78 | 3,27 | |
1,02 | 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,77 | 3,26 | |
1,02 | 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,76 | 3,25 | |
1,02 | 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | 3,24 | |
1,01 | 1,68 | 2,02 | 2,43 | 2,71 | 3,17 | |
1,01 | 1,68 | 2,01 | 2,40 | 2,68 | 3,12 | |
1,01 | 1,67 | 2,00 | 2,39 | 2,66 | 3,10 | |
![]() | 1,00 | 1,64 | 1,96 | 2,33 | 2,58 | 2,97 |
При зі зростанням числа вимірювань коефіцієнти Стьюдента зменшуються мало. Тому виконувати вимірювання більше 30 разів недоцільно - це не призведе до скільки-небудь помітного зменшення випадкової похибки результату серії вимірювань.