Средние квадратические погрешности функций

Измеренных величин

В § 22 рассмотрены средние квадратические погрешности, будем считать, непосредственно измеренных величин. Чаще всего сами непосредственно измеренные величины используются в различных формулах, результатом вычисления по которым являются косвенные величины. Например, площадь прямоугольника, как косвенная величина, может быть определена как произведение длин сторон прямоугольника, полученных при измерениях непосредственно. Оценку точности площади в этом случае необходимо производить с учетом погрешностей в измерениях его сторон.

Предположим, что имеется функция F аргументов х₁ , х₂ , ... , х_n:

F = f (x₁, х₂, …, х_n). (3.16)

Величины х_i известны из непосредственных измерений, а также известны и их СКП: m₁ , m₂ , ... , m_n . В этом случае СКП функции определяется по следующей формуле:

, (3.17)

где (∂f/∂х_i) - частная производная функции по аргументу х_i .

Вполне вероятно, что вам ещё неизвестно, что такое частная производная. Все просто. Что такое производная Вы знаете, как находят производную функции по одному аргументу Вы тоже знаете. А вот частная производная, если аргументов много, находится отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами.

Правила определения СКП функций следующие.

1. Выполнить последовательно дифференцирование функции отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами (коэффициентами).

2. Полученные выражения умножить на СКП аргументов, по которым производилось дифференцирование функции и возвести полученные выражения каждое отдельно в квадрат.

3. Записать полученные выражения в виде суммы под знаком квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров определения СКП функций.

Пример 3.1. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического.

Очевидно, что значение среднего арифметического является функцией суммы измеренных величин х_i (3.6). Представим это выражение в виде

х_о = (х₁ + х₂ + … + х_n ) / n . (3.18)

Поскольку 1/n является постоянным коэффициентом, то при почленном дифференцировании и после умножения на m_i и возведения в квадрат пролучим:

, (3.19)

или

. (3.20)

Полагая измерения равноточными, т.е. m₁ = m₂ = ... = m_n = m, выражение (3.20) преобразуем к виду

. (3.21)

Таким образом, СКП среднего арифметического в корень из числа измерений меньше СКП одного измерения.

С учетом (3.10)

. (3.22)

Очевидно, что, если при увеличении числа измерений значение СКП одного измерения стремится к предельному значению, отличному от нуля, то значение СКП среднего арифметического стремится при увеличении числа измерений к нулю, а само среднее арифметическое – к истинному значению.

Пример 3.2. Объём пирамиды, основанием которой является прямоугольник, определён по формуле

, (3.23)

где h – высота пирамиды, а и b – стороны основания.

Требуется определить СКП объёма пирамиды, вычисленного по формуле (3.23), если известно, что h = 12 м, а = 23 м, b = 40 м, их СКО равны соответственно: m_h = 0,06 м, m_a = 0,02 м, m_b = 0,05 м.

Решение.

Выполняем последовательное дифференцирование по аргументам h, a и b:

- по аргументу h: ;

- по аргументу а: ;

- по аргументу b: .

Возводим в квадрат полученные части и записываем в виде суммы в подкоренном выражении:

(3.24)

Формулу (3.24) можно преобразовать к следующему виду. Разделим правую и левую части соответственно на ( h a b):3 и V, получим

(3.25)

или

, (3.26)

где δ - относительные СКП аргументов и функции.

Выполним вычисления по формуле (3.24).

м³.

Значение V = (23 · 40 ∙12) : 3 = 3680 м³.

Относительная СКП определения объёма равна δ_V = 19,23 /3680 = 0,00523 = .

Выполним проверку значения δ_V по формуле (3.26).

Относительные СКП аргументов равны:

δ_h = 0,06 : 12 = 0,00500, δ_a = 0,02 : 23 = 0,00087, δ_b = 0,05 : 40 = 0,00125.

После подстановки в формулу (3.26) получим δ_V = 0,00523, что совпадает с предыдущим результатом.

Пример 3.3. Сторона а треугольника определена по теореме синусов по значению стороны b и двум углам треугольника А и В:

Известно: b = 140,12 м (δ_b = 1 : 2000; m_b = 140,12 : 2000 = 0,07 м), А = 73^о18,8' (m_А = 0,4'), В = 63^о05,6' (m_В = 0,3').

Необходимо определить СКП вычисленной стороны а.

Решение.

Вычисление стороны а производится по формуле

. (3.27)

Запишем члены подкоренного выражения для СКП параметра а:

- для аргумента b: (m_b sin A / sin B )²;

- для аргумента А: (b m_A cos A /r' sin B )²;

где r' = 3438¢ (число минут в радиане; для выражения угловой меры СКП угла в меру радианную);

- для аргумента В: (b m_B sin A cos B / r' sin² B)².

Следовательно,

. (3.28)

После подстановки значений аргументов получим: m_а = 0,096 м.

Как показывают данные расчётов, большее влияние на погрешность стороны а оказывает первый в записи член, определяемый погрешностью аргумента b. Двумя другими членами общего выражения для погрешности стороны а практически можно пренебречь. Однако следует иметь в виду и то, что малое влияние второго и третьего членов подкоренного выражения обусловлено сравнительно малой погрешностью измерения углов по сравнению с погрешнсотью измерения стороны b. Следовательно, в рассмотренном случае углы можно измерять с большей погрешнсотью, чем это было выполнено по условию задачи.

Значение стороны а, вычисленное по формуле (3.27), равно 189,81 м. Относительная пгрешность стороны а будет равна δ_а = m_a / а = 0,096 / 189,81 = 1:1977, т.е. практически она равна относительной погрешности измерения стороны b (немного побольше, чем погрешность измерения стороны b).

А вот, вообще говоря, стандартная, но для Вас, возможно, не совсем стандартная задача. Вы знаете, что знаменитое число π = 3,14, а то и π = =3,1416, а то и π = 3,141592654, а то и … Оно бесконечно! А задача такая.

Пример 3.4.С какой точностью следует взять число π, чтобы площадь круга, радиус которого R = 136,543 м (измерен с относительной погрешностью δ_R = 1:40000), получилась с относительной погрешностью δ_S не хуже 1:20000?

Решение.

Найдем площадь круга: S = πR² = (предварительно, для оценок в данной задаче, примем π = 3,14) = 58542,13126 м².

СКП определения площади должна быть не больше = (1:20000)⋅58542,13126 = 2,92711 м².

СКП измерения радиуса составила = (1:40000)⋅136,543 = 0,0034136 м.

Из формулы площади круга выразим π, , и определим частные производные по каждому из аргументов:

- по аргументу S (считаем R постоянным) → ;

- по аргументу R (считаем S постоянной) → .

В соответствии с формулой (3.17) запишем, что

= (после подстановки значений) = 0,000222.

Таким образом, с некоторым запасом, значение числа π для указанного условия задачи следует брать до 0,00001 после запятой: π = 3,14159.

Искомое значение площади в этом случае будет равно S = 58571,78 м².