Сліди площини

Рис. 3.3 Слід площини – це лінія перетину заданої площини з площиною проекцій (рис. 3.6).

сліди площини - student2.ru ∑п1 – горизонтальний.

∑п2 – фронтальний.

∑п3 – профільний сліди площин.

сліди площини - student2.ru Рис. 3.4 ∑x, ∑y, ∑z – точки сходу слідів.

3.3. Положення площини відносно площин проекцій.Відносно площин проекцій будь-яка площина може займати 7 положень.

1. Площина загального положення (рис. 3.6).

Розташована під довільними кутами нахилу до П1, П2, П3. На площинному кресленні сліди цієї площини

Рис. 3.5 розташовані під довільними кутами нахилу до осей

сліди площини - student2.ru сліди площини - student2.ru Рис. 3.6

сліди площини - student2.ru проекції (рис 3.6).

2. Площини рівня.

Паралельні до однієї з площин проекцій і одночасно перпендикулярні до двох інших.

Горизонтальна площина рівня – паралельна до П1 (рис. 3.7).

1. ΘП2║х.

───── Рис. 3.7

2. сліди площини - student2.ru Θ║ П1;

А2, В2, С2 є Θ;

А1, В1, С1 – НВ.

Рис. 3.8

Фронтальна площина рівня – паралельна до П2.

∑п1║х;

сліди площини - student2.ru ─────

∑║П1 (рис. 3.8).

Профільна площина рівня – паралельна до П3.

1. Гп2║z;

Гп2┴х.

2. Гп1║у;

Гп1┴х.

─────

Г║П3 (Рис. 3.9). Рис. 3.9

Проекції будь-якого геометричного образу, який належить площині рівня, на одній площині проекцій будуть розташовані на сліді площини (DА2В2С2ÎQП2), а на іншу площину геометричний образ проекцюється в натуральну величину (рис. 3.7).

3. сліди площини - student2.ru Проекцюючі площини (перпендикулярні до однієї з площин проекцій і непаралельні до інших).

Горизонтально-проекцююча площина - перпендикулярна до П1 (рис. 3.10).

1. ∆П2┴х;

─────

∆┴ П1.

2. ∆АВС є ∆.

3. ∆А1В1С1 є ∆П1.

Рис. 3.10

Якщо в проекціюючій площині розташовано будь-який геометричний образ, то його проекція завжди буде належати сліду площини на тій площині проекцій, до якої перпендикулярна задана площина. Ця властивість сліду називається збиральною.

сліди площини - student2.ru

сліди площини - student2.ru

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Фронтально-проекцююча площина - перпендикулярна до П2 (рис. 3.11).

∑п1┴х

─────.

∑┴П2

Профільно-проекцююча площина - перпендикулярна до П3 (рис. 3.12).

1. Гп2║х;

Гп2┴z.

2. Гп1║х;

Гп1┴у;

─────

Г┴П3.

3.4. Головні лінії площини.До головних ліній площини відносять фронталь, горизонталь та лінію найбільшого схилу площини.

Фронталь – пряма, що належить площині і паралельна до П2:

сліди площини - student2.ru F є Г.

Побудову фронталі починаємо на тій площині проекцій, на якій відоме її положення відносно вісі х.

1. f1║x;

f1×Гп1=11.

2. 12 є х.

3. f2║Гп2;

─────

Рис. 3.13 f є Г (рис. 3.13).

Горизонталь – це пряма, що належить площині і паралельна до П1: h2║x.

1. h2×∆п2=12.

2. сліди площини - student2.ru 11 є х.

3. h1║∆п1;

─────

h є ∆ (рис. 3.14).

Фронталь та горизонталь площини широко

Рис. 3.14 використовують при розв’язанні задач з визначення відсутніх проекцій точок, що належать до площини.

Лінія найбільшого схилу – це пряма, що належить площині і перпендикулярна до горизонталі площини.

Приклад. Побудувати лінію найбільшого схилу через вершину В.

1. h2║x.

2. h2×B2C2=12.

3. сліди площини - student2.ru 11 є B1C1.

4. A111 – h1.

5. l1┴h1.

6. l1×A1C1=21.

7. 22 є A2C2.

8. B222 – l2 (рис. 3.15).

3.5. Належність прямої та точки площині.Пряма належить площині, якщо:

1) вона проходить через дві точки цієї площини;

2) через одну точку площини і паралельна до Рис. 3.15

сліди площини - student2.ru іншої прямої площини або до однієї з площин проекцій.

Приклад. В площині ∑ побудувати АВ.

1.А2 є ∑п2;

А1 є х.

2.В1 є ∑п1;

В2 є х.

3.С1 є А1В1;

С2 є А2В2.

─────

Рис. 3.16 С є ∑ (рис. 3.16).

Звідси виходить нова умова належності прямої площині:

пряма належить площині, якщо її сліди розташовані на відповідних слідах цієї площини.

Точка належить площині, якщо вона належить прямій цієї площини.

Розв’язання задач складається з двох етапів:

1) будують пряму, яка належить площині (рис.3.16);

2) на прямій АВ будують точку С, яка і буде належати площині.

3.6. Паралельність прямої та площини.Пряма паралельна до площини, якщо вона паралельна до будь-якої прямої цієї площини. Для рішення задачі необхідно:

1) в площині побудувати пряму загального положення;

2) виходячи з умов паралельності двох прямих, побудувати необхідну пряму.

сліди площини - student2.ru Приклад 1. Через т. А побудувати l║∑, l є A.

m є ∑.

1. l2║m2.

2. l1║m1;

──────

Рис. 3.17 l║∑ (рис. 3.17).

сліди площини - student2.ru Приклад 2. Через т. А побудувати площину ∆, паралельно l.

1. a2 є А2;

а2║l2;

a1 є А1;

а1║l1.

2. b2 є А2;

b1 є А1;

──────

Рис. 3.18 ∆ (a×b)║l (рис. 3.18).

Приклад 3. Перевірити паралельність прямої l до Г.

n2║l2

1. n2×m2=12.

2. 11 є m1.

3. n1╫l1;

сліди площини - student2.ru ──────

l╫Г(A, m) (рис. 3.19).

Конкретне розв’язання кожної геометричної задачі залежить від положення проекцій геометричних

Рис. 3.19 образів.

3.7. Паралельність двох площин.Дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим іншої площини. Якщо площини задані слідами, то у паралельних площин мають бути паралельними сліди.

сліди площини - student2.ru Приклад 1. Через т. А побудувати ∑║∆, ∑ є А:

∆(l×m).

1. a2║l2, a2 є A2.

2. b2║m2, b2 є A2.

3. a1║l1, a1 є A1.

4. b1║m1, b1 є A1.

─────────

∑(a×b) ║∆(l×m) (рис. 3.20).

Приклад 2. Через т. А

Рис. 3.20 побудувати Г ║Θ, Г є А.

План розв’язання:

1) через т. А будують пряму рівня паралельно Θ;

2) сліди площини - student2.ru будують слід цієї прямої:

1. h є А.

2. h║Θ.

3. F1F2×h2=F.

4. Гп2 є F;

Гп2║Θп2.

5.Гп1║h║Θп1.

────────────

Рис. 3.21 Г║Θ (рис. 3.21).

3.8. Перпендикулярність прямої та площини.Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох пересічних прямих цієї площини. За пересічні прямі необхідно використати фронталь та горизонталь, тоді l2┴f2, a l1┴h1.

сліди площини - student2.ru Приклад. Через т. А побудувати l┴∑(∆ABC).

1. h є АВС.

2. f є АВС.

3. l1┴h1;

l1 є А1.

4. l2┴f2;

l2 є A2.

─────

l┴∑(∆ABC) (рис. 3.22).

Рис. 3.22

3.9. Перпендикулярність двох площин.Дві площини взаємо перпендикулярні, якщо одна з них має перпендикуляр до другої площини. Розв’язок задачі складається з двох етапів:

1) будують пряму, перпендикулярну до заданої площини;

2) до прямої перпендикуляру добудовують іншу пряму довільного положення; дві пересічні прямі і сформують площину, перпендикулярну до заданої.

сліди площини - student2.ru Приклад. Побудувати ∆┴∑, ∆ є А.

1. l2 є А2;

l2┴∑п2.

2. l1 є А1;

l1┴∑п1.

3. m2 є A2;

m1 є A1.

─────────

∆(m×l) ┴∑ (рис. 3.23).

Рис. 3.23

3.10. Перпендикулярність двох прямих загального положення.Дві прямі загального положення взаємо перпендикулярні, якщо одна з них належить площині, перпендикулярній до іншої прямої.

Приклад. Через т. А побудувати l┴m.

План розв’язання:

1) через т. А будуємо Г є А, Г┴m, площину Г задають пересічними f та h, при цьому:

1) f2┴m2;

2) h1┴m1,

h2║x║f1.

2) будуємо точку перетину прямої m і Г, для цього пряму заключають у допоміжну горизонтально-проекцюючу площину, будують точки перетину.

1. m є ∑;

∑┴П1.

2. ∑┴Г=1,2.

3. 1121.

4. 12 є h2;

22 є f2.

сліди площини - student2.ru 5. 1222×m2=K2;

K1 є m1.

6. A2K2 – l2;

A1K1 – l1;

────────

l┴m (рис. 3.24).

3.11. Взаємний перетин двох площин.Результатом перетину двох площин є пряма лінія. Для побудування її проекцій необхідно визначити дві точки, які одночасно належать двом площинам.

Розв’язок кожної конкретної задачі залежить від графічних умов, якими задають площини на кресленні. Рис. 3.24

В більшості випадків необхідно використовувати допоміжні площини окремого положення, що значно спрощує розв’язання задач.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину двох площин Г×∆=KL.

Оскільки ∆┴П1, горизонтальний слід цієї прямої має збиральні властивості.

Горизонтальна проекція прямої буде розташована на ∆П1.

1. ∆П1×А1В1=11;

сліди площини - student2.ru ∆П1×А1С1=21.

2. 12 є А2В2;

22 є А2С2.

──────────

Г×∆=1,2 (рис. 3.25).

Приклад 2. Побудувати лінію перетину площин загального положення, які задані плоскими геометричними фігурами.

Для розв’язання цієї задачі необхідно використати допоміжні проекцюючі

сліди площини - student2.ru Рис. 3.25 площини.

1. AB є ∆; ∆┴П2;

2×D2F2=12;

2×D2E2=22;

11 є D1F1;

21 є D1E1;

1121×A1B1=K1;

K2 є A2B2.

2. AC є ∆’; ∆’┴П2;

∆’2 ×D2F2=32;

∆’2 ×D2E2=42;

31 є D1F1;

41 є D1E1;

3141×A1C1=L1;

L2 є A2C2;

3. K1L1; K2L2 (рис. 3.26).

Рис. 3.26

Лінія перетину двох площин ділить кожну площину на 2 частини – видиму і невидиму.

Для визначення елементів видимості пересічних площин необхідно використати розв’язок аналогічної задачі для мимобіжних прямих.

Якщо пересічні площини задані слідами, то лінію перетину будують у наступній послідовності:

1) позначають точки перетину одноіменних слідів;

2) будують відсутні проекції цих точок, які завжди будуть розташовані на вісі Х;

3) з’єднують одноіменні проекції точок.

сліди площини - student2.ru Приклад. Побудувати лінію перетину двох площин ∆ і Г.

∆ × Г=KL.

Площини ∆ і Г – площини загального положення, а тому і лінія їх перетину – пряма загального положення.

Розв’язання задачі виконують

Рис. 3.27 відповідно до загального алгоритму.

1. ∆П2 × Гп2=K2;

∆П1 × Гп1=L1.

2. K1, L1 є Х.

3. K2L2; K1L1 (рис. 3.27).

Якщо одна з площин займає окреме положення, то побудова лінії перетину має певні особливості.

сліди площини - student2.ru Приклад 1. Побудувати лінію перетину двох площин ∑×∆=KL

∆┴П1, тому горизонтальна проекція лінії перетину K1L1 буде належати ∆П1.

1. ∑П2×∆П2=K2;

П1×∆П1=L1.

2. K1L1 є ∆П1.

3. L2 є x; K2L2 (рис. 3.28).

Рис. 3.28

Приклад 2. Побудувати лінію перетину двох площин Г×Θ.

1. Θ║П1, Θ┴П2, а тому на П2 l є Θ2.

2. ГП2×l2=12.

3. l1║ГП1 (рис. 3.29).

3.12. Перетин прямої та площини.Результатом перетину прямої та площини є точка.

сліди площини - student2.ru Для побудови її проекцій необхідно:

1) пряму заключити у допоміжну площину (проекцюючу або рівня);

2) побудувати лінію перетину прямої та заданої площин;

3) позначити точку перетину лінії перетину двох площин та заданої прямої.

сліди площини - student2.ru Рис. 3.29 Приклад. Побудувати точку перетину прямої та площини.

1. l є ∑; ∑┴П2.

2. ∑2×Г(ABC)=1,2;

2×A2C2=12;

2×B2C2=22.

3. 11 є A1C1;

21 є B1C1.

4. 1121×l1=K1.

5. K2 є l2 (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Наши рекомендации