Мода - это значение признака, которое чаще всего встречается в ряде распределения

В дискретных рядах модой является значение признака в той группе, у которой наблюдается наибольшая частота. Определить моду в этом случае можно визуально.

В интервальных рядах распределения мода также находится в той группе, у которой наибольшая частота. Но так как в интервальных рядах признак может принимать любое значение в заданном интервале, точное значение моды следует определять по специальной формуле:

(17)

где х_мо - нижняя граница модального интервала;

i_мо - величина модального интервала;

f_мо - частота модального интервала;

f_(мо-1) - частота интервала, предшествующего модальному;

f_(мо+1) - частота интервала, следующего за модальным.

Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту

Значение моды, рассчитанное по формуле, не может быть меньшим, чем нижняя граница модального интервала, и не будет превышать верхнюю границу модального интервала.

Медиана - это значение признака, стоящего в центре ранжированного ряда распределения.

В дискретном ряде распределения медиана равна значению признака в той группе, у которой сумма накопленных частот равна или превышает половину суммы всех частот ряда распределения.

Сумма накопленных частот находится последовательным сложением частот каждой группы. Так, для первой группы сумма накопленных частот будет равна частоте этой группы, для второй группы - сумме частот первой и второй группы, для третьей группы - сумме частот первой, второй и третьей группы и т.д. накопленная частота последней группы будет равна общей сумме частот ряда распределения.

В интервальном ряде распределения медиана находится по специальной формуле:

(18)

где х_ме - нижняя граница медианного интервала;

i_ме - величина медианного интервала;

f_ме - частота медианного интервала;

Σf - сумма всех частот ряда распределения;

S_ме-1 - сумма частот, накопленных до медианного интервала.

Медианным считается интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину всех частот ряда распределения

Значение медианы будет не меньше, чем значение нижней границы медианного интервала, и не превысит значения верхней границы медианного интервала.

Показатели вариации

Показатели вариации характеризуют степень отклонения реальных значений признака от среднего значения и друг от друга. Они делятся на три группы: абсолютные, средние и показатели относительного рассеивания.

К абсолютным показателям вариации относится размах вариации, который характеризует отклонение крайних значений признака.

(19)

где x_max, x_min - максимальное и минимальное значение признака в изучаемой совокупности.

К средним показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия. Эти показатели существуют в двух формах: простой и взвешенной.

Простая форма применяется для несгруппированных данных, взвешенная - если данные сгруппированы. Форма расчета средних показателей вариации совпадает с формой расчета средней величины.

Среднее линейное отклонение находится как отношение суммы отклонений индивидуальных значений признаков от средней (взятой по модулю) к количеству единиц совокупности. Среднее линейное отклонение показывает, на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от его среднего значения.

В простой форме среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

(20)

Взвешенная форма имеет вид:

(21)

Следует иметь виду, что отклонение реальных значений от средней берется по модулю. В противном случае сумма отклонений будет равна 0.

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от средней, но сумма отклонений возводится в квадрат. Рассчитывается также в простой и взвешенной форме.

, (22)

. (23)

Дисперсия представляет собой сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней. Данный показатель не имеет единиц измерения. В простой форме дисперсия имеет вид:

(24)

Во взвешенной форме:

. (25)

Можно рассчитать дисперсию по методу моментов. В этом случае расчет производится по формуле:

(26)

Показатели относительного рассеивания являются мерой вариации признака и позволяют сопоставлять степень вариации у различных совокупностей. Данные показатели находятся как отношение абсолютных или средних показателей вариации к среднему значению признака.

Коэффициент осцилляции рассчитывается как отношение размаха вариации к среднему значению признака (в процентах):

(27)

Относительное линейное отклонение находится как частное от деления среднего линейного отклонения на среднее значение признака ( в процентах):

(28)

Коэффициент вариации является мерой типичности средней и показывает, на сколько процентов в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от средней. Он находится по формуле:

(29)

Если значение коэффициента вариации не превышает 33%, средняя считается типичной для совокупности, и ее можно применять в экономических расчетах.

Тема 3. Ряды динамики

Рядами динамики называются статистические данные, последовательно расположенные в хронологическом порядке, которые характеризуют развитие явлений во времени.

Ряды динамики состоят из двух элементов:

1. Временной компоненты – t. Это могут быть временные интервалы или определенные даты;

2. Соответствующие им уровни изучаемых явлений – y.

В зависимости от характера изучаемого явления динамические ряды делятся на моментные и интервальные.

Моментные ряды отображают состояние явления на определенную дату.

Интервальные ряды показывают итоги развития явления за определенный период.

В зависимости от величины интервалов между временными компонентами ряды динамики делятся на полные (с равноотстоящими интервалами) и неполные (с неравноотстоящими интервалами).

В полных рядах динамики интервалы между временными компонентами равны, т.е. данные приводятся за одинаковые промежутки времени.

В неполных рядах динамики могут отсутствовать данные за отдельные интервалы времени.

Для анализа рядов динамики применяются следующие показатели: абсолютный прирост (сокращение), темп роста (снижения), темп прироста (сокращения), абсолютное значение 1% прироста.

Все эти показатели основаны на сравнении уровней динамического ряда в разные моменты времени. В зависимости от применяемого способа сравнения показатели динамики могут вычисляться на постоянной или переменной базе сравнения.

При использовании постоянной базы все последующие уровни ряда сравниваются с базисным уровнем и вычисляемые при этом показатели называются базисными.

При использовании переменной базы сравнения последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Показатели динамики при этом называются цепными.

1. Абсолютный прирост (сокращение). Показывает, на сколько единиц изменился уровень явления в изучаемом периоде по сравнению с периодом, принятым за базу сравнения. Абсолютный прирост (сокращение) может быть положительным или отрицательным. Положительный знак указывает на рост явления, отрицательный – на сокращение.

базисный (30)

цепной (31)

Между цепными и базисными абсолютными приростами существует следующая зависимость: сумма цепных приростов в полном ряду динамики равна последнему базисному абсолютному приросту:

(32)

2. Темп роста (снижения). Показывает, во сколько раз возрос или сократился уровень явления в изучаемом периоде по сравнению с периодом, принятым за базу сравнения. Показатель рассчитывается в долях единицы или процентах. Если темп роста (сокращения) больше 1 (100%) – это свидетельствует о росте явления, если меньше 1 (100%) – о сокращении.

Если явление в изучаемом периоде не изменилось по сравнению с базисным периодом, темп роста будет равен 1 (100%).

базисный (33)

цепной (34)

Цепные и базисные темпы роста связаны следующим образом: произведение цепных темпов роста в полном ряду динамики равно последнему базисному темпу роста:

П Т_рц = Т_{р б п} (35)

3. Темп прироста (сокращения). Показывает, на сколько процентов изменился уровень явления в изучаемом периоде по сравнению с периодом, принятым за базу сравнения. Показатель рассчитывается в процентах или долях единицы. Направление изменения показывает знак: положительный – рост, отрицательный – сокращение.

базисный .100 (36)

цепной .100 (37)

или Т_пр = Т_р – 1 ( если темп роста рассчитан в долях единицы)

Т_пр = Т_р – 100 ( если темп роста рассчитан в процентах) (38)

4. Абсолютное значение 1 % прироста. Находится как частное от деления абсолютного прироста на темп прироста. Показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – 1% прироста.

1% = (39)

Таким образом, абсолютное значение 1% прироста можно вычислить как одну сотую от базисного уровня. Этот показатель рассчитывается только для цепных показателей динамики.

где Δу - абсолютный прирост (сокращение);

у_i - уровень ряда в сравниваемом периоде;

у_б - уровень явления в периоде, принятом за базу сравнения;

у_i-1- уровень явления в период, предшествующий сравниваемому.