Тема 2. Средние величины и показатели вариации
Средняя является обобщающим показателем, с помощью которого можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Она отражает то общее, что складывается во всей совокупности и незаметно в отдельном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям.
Для осреднения различных признаков используются разные виды средних величин. Выбор вида средней осуществляется индивидуально в каждом случае и зависит от наличия исходных данных и вида признака.
Каждый вид средней имеет две формы: простую и взвешенную. Простая средняя используется в тех случаях, когда каждое значение признака встречается только один раз. Если некоторые значения признака повторяются неоднократно, т.е. данные сгруппированы, для расчета средней используются взвешенные формы.
Основные обозначения:
- среднее значение признака;
хi - индивидуальные значения осредняемого признака;
n - количество единиц совокупности;
fi - частота (вес) индивидуальных значений осредняемого признака;
wi = xifi - произведение индивидуального значения признака и его частоты.
Таблица 2. Виды и формы средних величин
Виды средних величин | Простая | Взвешенная |
1 | 2 | 4 |
1. Арифметическая | ![]() | ![]() |
2. Гармоническая | ![]() | ![]() |
3. Квадратическая | ![]() | ![]() |
4. Геометрическая | ![]() | ![]() |
5. Хронологическая | ![]() |
Чаще всего используются простая и взвешенная арифметическая средняя.
В том случае, когда нет данных о частотах отдельных признаков, но имеются сведения о произведении индивидуального значения признака на его частоту, среднюю арифметическую можно заменить средней гармонической. При этом гармоническая простая используется только тогда, когда равны объемы совокупностей.
Средняя квадратическая, простая и взвешенная, используется, как правило, для расчета средних отклонений.
Геометрическая средняя используется для осреднения таких признаков, для которых характерна мультипликативная зависимость. Чаще всего гармоническая средняя используется для расчета средних темпов роста и средних индексов.
Хронологическая средняя применяется для расчетов средних уровней в моментных рядах динамики.
При расчете среднего значения признака в интервальных вариационных рядах используется средняя арифметическая взвешенная, определяемая по формуле (9) (табл.2). В этом случае за принимается середина каждого интервала, определяемая как полусумма максимального и минимального значения признака в группе.
Например, если группировочный интервал 8-10, за будет принято число 9, так как полусумма максимального и минимального значения признака в группе будет определена следующим образом:
При наличии открытых интервалов, у которых определена только одна граница – верхняя или нижняя, открытый интервал принимается равным по величине смежному с ним закрытому интервалу. Например, если имеется интервальный ряд распределения:
Объем продаж, тыс. руб. | Количество предприятий, шт. |
до 100 | |
100-140 | |
140-180 | |
свыше 180 |
У первой группы имеется открытый интервал, у которого указана только верхняя граница. В нашем случае, он принимается равным по величине второму интервалу, т. е. считается, что у первой группы объем продаж составит от 60 до 100 тыс. руб. Серединой интервала в данном случае будет объем продаж, равный 80 тыс. руб. ( ).
Открытый интервал у последней группы принимается равным по величине предшествующему интервалу, т. е. примет значения от 180 до 220 тыс. руб., а середина интервала будет рассчитана ( )
Средний объем продаж по данной совокупности определим так:
тыс. руб.
Мода и медиана
Помимо средних величин, в статистическом анализе используются и структурные средние: мода и медиана.