Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения двумерного случайного вектора есть функция неотрицательная: f(x,y)³ 0.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения двумерного случайного вектора равен единице:

3. Плотности распределения компонент случайного вектора могут быть получены по формулам:

,

Закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) – это совокупность всех возможных значений случайного вектора (X, Y) и их вероятностей:

p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}, где i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m.

n, m – число возможных значений случайных величин X и Y.

Так же, как и в непрерывном случае:

, , .

Пример 1.Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:

yj xi		0,1	0,2	0,3	pi
	0,2	0,1	0,05	0,05	0,4
		0,15	0,15	0,1	0,4
			0,1	0,1	0,2
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

На пересечении i-той строки и j-того столбца таблицы находятся вероятности p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}.

Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.

Решение.Вероятность события {X=x_i}=p_i, есть сумма вероятностей, находящихся в i-той строке. Вероятности p_i находятся в последнем столбце таблицы.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi
pi	0,4	0,4	0,2

Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности p_j находятся в последней строке таблицы.

Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

yj		0,1	0,2	0,3
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:

;

Пример 2.В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y₂=0,1.

Решение.Выбрав значения p_i2 из столбца таблицы, соответствующего значению y₂=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределение X при условии, что Y=0,1:

xi
pX(xi|y2)	0,4	0,6

Указания к выполнению практической работы: Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задания:

1. Известна плотность вероятности случайной величины:

Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания X в интервал (-π/4; π/4). Построить графики f(x), F(x).

2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения на всей числовой оси: Найти вероятность того, что Х примет значение на интервале (-1, 1).

Практическая работа № 10 «Построение вариационных рядов»

Основные понятия и определения.

Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определённому варьирующему признаку.
В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Наличие общего признака является основой для образования статистической совокупности, которая представляет собой результаты описания или измерения общих признаков объектов исследования.

Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся (варьирующие) признаки или статистические признаками.

Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам.

Вариационными рядами называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Вариантами считаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду.

Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, её объём.

Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или 100 %.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды.

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой и куммулятой).

В случае дискретного распределения на оси абсцисс откладывают отдельные значения признака. Из принимаемых значений x_i проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны частотам m_i, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых. Это полигон для дискретных вариационных рядов.

Пример.На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

Число в мин (xi)
Частоты (mi)								å=60

Гистограмма строится только для интервального вариационного ряда (группированной выборки). На каждом из интервалов значений как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной m_i. Если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, а концы этой ломаной ещё соединить с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, то получим полигон интервального ряда.

Пример.

Выработка продавцов	Число продавцов	В процентах к итогу	Кумулятивная (накопленная) численность	Накопленная относительная частота
80-100				0,1
100-120			15 (5+10)	0,3
120-140			35 (15+20)	0,7
140-160			45 (35+10)	0,9
160-180			50 (45+5)
итого

Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения. При построении кумуляты в точке, соответствующей принимаемому значению, для дискретного ряда и в правом конце интервала для интервального ряда строится перпендикуляр, высота которого пропорциональна накопленной частоте, затем верхние концы перпендикуляров соединяются между собой с помощью прямолинейных отрезков.

«Накопленные частоты» - это и есть значения эмпирической функции распределения, а кумулята – её сглаженное графическое изображение.

Указания к выполнению практической работы: Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задание:

1. Измерения диаметров 50 валиков, выточенных на станке, дали следующие результаты (в мм):

14,51	14,42	14,56	14,47	14,46	14,35	14,48	14,53
14,21	14,31	14,35	14,68	14,56	14,28	14,36	14,21
14,52	14,23	14,41	14,46	14,69	14,54	14,36	14,15
14,37	14,51	14,25	14,55	14,51	14,36	14,62	14,55
14,38	14,33	14,40	14,52	14,48	14,51	14,55	14,39
14,54	14,58	14,48	14,37	14,38	14,51	14,36	14,15
14,24	14,32

а) Построить дискретный вариационный ряд.

б) Построить интервальный вариационный ряд.

в) Для интервального вариационного ряда вычислить абсолютные и относительные плотности распределения.