Теоретический материал. Лабораторная работа № 1

Лабораторная работа № 1

Элементы теории нечетких множеств для принятия решений.

Цель работы:

1) познакомиться с понятием нечетких множеств;

2) рассмотреть операции, возможные на нечетких множествах;

3) изучить процесс принятия решений на основе теории нечетких множеств;

4) решить задачу поиска перспективного ассортимента предприятия оптовой торговли (по вариантам).

Теоретический материал

Теория нечетких множеств – раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.

Теория нечетких множеств – это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием – элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечетких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству к непринадлежности их этому множеству может происходить постепенно, не резко.

Нечеткие илиразмытые множества - понятие, предложенное американским специалистом в области теории управления Л.Л.Заде в 1965 г. для описания и исследования сложных систем, когда применение точного количественного анализа оказывается малоэффективным. Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - нечеткое, расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество. К настоящему времени уже можно говорить об обширном разделе нечеткая математика, который активно используется при рассмотрении задач экономического, социального, политического характера, в психологии, распознавании и классификации образов, в лингвистике и теории языков и т.д.

Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для принятия решений, в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей.

Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей.

Пусть имеется некоторое (так называемое универсальное) множество А.

Нечеткое множество Х в А задается своей функцией принадлежности μх, ставящей в соответствие каждому элементу х множества А определенное число μх(х), из отрезка [0, 1], которое интерпретируется как степень принадлежности элемента х нечеткому множеству Х. Функция принадлежности μ_A(x) количественно градуирует принадлежность элементов x фундаментальному множеству X. Отображение элемента в значение 0 означает, что элемент не принадлежит данному множеству, значение 1 описывает полную принадлежность элемента множеству. Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.

Пустому нечеткому множеству соответствует функция принадлежности, тождественно равная нулю на множестве А.

Нечеткое множество унимодально, μ_A(x)=1 только на одном х из А.

Нечеткие множества Х и Y считают равными и при этом пишут X = Y, если совпадают их функции принадлежности. Нечеткое множество Х называется подмножеством нечеткого множества Y, если их функции принадлежности связаны неравенством μх(х)£ μ_Y(х) для всех х из множества А.

Примерами нечетких множеств могут служить множества «чисел, близких к нулю», «очень больших чисел», «новых предприятий», «больших городов», «знаков, похожих на букву А» и т.д.

В прикладных задачах конкретный вид функции принадлежности определяется с учетом специфики задачи и иногда это может оказаться непростым делом.

В теории нечетких множеств по аналогии с обычной теорией множеств вводятся операции объединения, пересечения, дополнения и др., которые чаще всего определяются как нечеткие множества с функциями принадлежности соответственно

для каждого х из множества А. Многие известные свойства теоретико-множественных операций справедливы и для нечетких множеств. Но существуют и отличия. Например, объединение дополнения данного множества с самим этим множеством не обязательно совпадает с универсальным множеством А.

Обычные множества представляют собой частный случай нечетких множеств, когда функция принадлежности принимает лишь два значения - 0 либо 1. При этом приведенные выше операции над нечеткими множествами в случае такой функции принадлежности превращаются в известные теоретико-множественные операциями над обычными множествами.

Нечеткое число определяется как нечеткое подмножество множества вещественных чисел, т. е как функция, заданная на множестве чисел и принимающая значения в пределах от нуля до единицы.

Нечеткая функция из Х в Y определяется как нечеткое множество на (четком) декартовом произведении Х х Y. Иными словами, нечеткая функция указывает каждой паре х, у из соответствующих множеств некоторое число в пределах от нуля до единицы, которое можно интерпретировать как степень соответствия.

В настоящее время существуют такие понятия как нечеткая производная, нечеткий интеграл и многие другие обобщения широко известных понятий математики.

Активно разрабатывается раздел нечеткая логика. Это направление имеет многочисленные применения в практике. Например, уже сравнительно давно на мировом рынке компьютеров продаются модели, основанные на нечеткой логике. При решении определенных задач они оказываются эффективнее обычных компьютеров.

Величина называется высотой нечеткого множества Х. Нечеткое множество Х нормально, если его высота равна 1, т.е верхняя граница его функции принадлежности равна 1 . При нечеткое множество называется субнормальным.

Необходимость введения нечетких множеств (НМ) обоснована тем, что по мере роста сложности систем падает наша способность делать точные и значащие утверждения относительно поведения системы.

Таблица 1

	Классические системы	В размытом множестве
Предикаты	«истинно» и «ложно»	«высокий», «большой», «скоро» и т.д.
Модификатор предикатов	отрицание	«очень», «более или менее», «вполне»
Кванторы	Существования, всеобщности	«несколько», «главным образом», «почти всегда»

Таблица 2.

Пример 1. Понятие «высокий»

Рост	mA (ui)
2,20 2,10 2,00 1,90 1,80 1,70 1,60	0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

Отличие mA(ui) от функции распределения случайной величины: m - функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а функция распределения – это объективный закон, независимый от отношения специалиста к этому явлению.

Способы задания отношений га нечетком множестве:

теоретико-множественный, матричный, графический и с помощью нечетких предикатов.

Теоретико-множественный: перечисление X= {Xi} и задание = {mF (xi, xj), (xi, xj)}, где (xi, xj)ÎX2.

Матричный: задается матрица смежности Rj , где на пересечении i-ой строки и j – го столбца стоит rij = mF (xi, xj).

Можно задать в виде графа с множеством вершин X, дугами (xi, xj), которым приписано mF (xi, xj).

= ( X, ) – нечеткое отношение, если mF (a, b) Î F; a, b Î X, то a b – нечеткое логическое высказывание, значение истинности которого mF (a, b).

Размытое число (РЧ) используется для обозначения неточно определяемой величины, такой как «около 5». РЧ – это любое подмножество m = {x, mm (x)}, где x – число на прямой R и , mm (x)Î [0,1].

Два числа равны, если их меры членства равны.

РЧ может быть представлено в дискретной или непрерывной форме.

Лингвистическая переменная (ЛП) - переменная, заданная на некоторой количественной шкале и принимающая значения в виде слов и словосочетаний естественного языка.

Значение ЛП описывается нечеткими переменными. Любая ЛП связана с конкретной количественной шкалой. Эта шкала называется базовой. Масштаб шкалы может быть любой.