Расчет коэффициентов модели
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ
Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя предварительный анализ наличия связи, ее направления и приблизительное определение ее формы, осуществляемый с помощью метода приведения параллельных данных, балансового, аналитических группировок, графического метода, а также изучение степени тесноты взаимосвязи между признаками посредством расчета различных мер связи.
Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выра-жения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения. Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).
Нахождение аналитического выражения взаимосвязи производится путем построения уравнения регрессии.
Уравнение регрессии позволяет определить, каким в среднем будет значение результативного признака (У) при том или ином значении факторного признака (X), если остальные факторы, влияющие на У и не связанные с X, рассматривались неизменными (т. е. мы абстрагировались от них).
2.1. Основные задачи и предпосылки применения
корреляционно-регрессионного анализа
Все явления и процессы, характеризующие социально-экономическое развитие и составляющие единую систему национальных счетов, тесно взаимосвязаны и взаимозависимы между собой.
Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (х1,х2;…, хn).
Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак (Y) подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки х1,х2;…, хn могут иметь произвольный закон распределения. В анализе динамических рядов в качестве факторного признака выступает время t. При этом в регрессионном анализе заранее подразумевается наличие причинно-следственных связей между результативным (Y) и факторными (х1,х2;…, хn ) признаками.
Уравнение регрессии, или статистическая модель связи социально-эконо-мических явлений, выражаемая функцией
y = f (х1,х2,…, хn )
является адекватным реальному моделируемому явлению или процессу при соблюдения следующихтребований их построения.
1. Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями.
2. Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей.
3. Все факторные признаки должны иметь количественное (цифровое) выражение.
4. Наличие достаточно большого объема исследуемой выборочной совокупности.
5. Причинно-следственные связи между явлениями и процессами следует описывать линейной или приводимой к линейной формами зависимости.
6. Отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи.
7. Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности.
Соблюдение этих требований позволяет исследователю построить статис-тическую модель связи, наилучшим образом аппроксимирующую моделируемые социально-экономические явления и процессы.
Построение регрессионных моделей, какими бы сложными они не были, само по себе не вскрывает полностью всех причинно-следственных связей. Основой их адекватности является предварительный качественный анализ, основанный на учете специфики и особенностей сущности исследуемых социально-экономических явлений.
К задачам регрессионного анализа относятся:
1) установление формы зависимости;
2) определение уравнения регрессии т.е. определение неизвестных коэффициентов модели;
Оценка неизвестных значений зависимой переменной.
По аналитическому выражению различают линейную и нелинейную связи.
Линейная связь имеет место, когда с возрастанием (или убыванием) значений Х значения Y увеличиваются (или уменьшаются) более или менее равномерно.
Математически линейная связь может быть выражена уравнением прямой, которое называется линейным уравнением регрессии:
Yтеор = b0 + b1·X ,
где Х- факторный признак; Yтеор –результативный признак; b0, b1- коэффициенты уравнения.
Если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, степенной, показательной, экспоненциальной и т. д.), то такую связь называютнелинейной.В экономическом анализе для ее выражения часто пользуются уравнением параболы второго порядка:
Yтеор= b0 + b1·X + b2· X2
Уравнение нелинейной связи может быть выражено и в виде уравнения гиперболы:
Yтеор= b0 + b1/X
или показательной функции:
Yтеор= b0 · b1X
После определения формы связи, т.е. вида уравнения регрессии, по эмпирическим данным определяют коэффициенты искомого уравнения.
Расчет коэффициентов модели
Чаще всего определение коэффициентов уравнения регрессии осуществляется с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Сущность МНК заключается в том, что сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений, полученных по уравнению регрессии, должна быть минимальной.
где Yi- фактические (экспериментальные) значения результативного признака; Yтеор- значения результативного признака, полученного по уравнению регрессии.
В зависимости от формы связи в каждом конкретном случае определяется своя система уравнений, удовлетворяющая условию минимизации.
Линейная зависимость
Для функции y = f(x), имеющей вид:
y = b0 +b1x.
коэффициенты a0 и a1 определяются из условия, чтобы сумма квадратов разности между левой и правой частями была бы минимальной.
(11 )
Используя метод нахождения экстремума путем вычисления соответствующих частных производных и приравнивая их к нулю
,
находят систему нормальных уравнений:
(12)
Коэффициенты b1 и b0 определяются по формулам:
, (13)
, или
. (13 а )
Экспоненциальная (степенная) зависимость
Для функции y = f(x), имеющей вид:
Коэффициенты b1 и b0 определяются по формулам
,
(14)
Параболическая зависимость
Для функции y = f(x), имеющей вид:
y = b0+b1x+b2x2 .
Коэффициенты b0, b1, b2 определяются при решении системы из трех уравнений (например, методом Гаусса ):
(15)
,
,
;
;
;
.
(16)
Для функции y = f(x), имеющей вид:
y= b0 + b1/X
система уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии имеет вид:
(17)
Для функции y = f(x), имеющей вид:
y=b0·b1x
система уравнений для определения коэффициентов уравнения имеет вид:
(18)