Расчет коэффициентов модели

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ

Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя предварительный анализ наличия связи, ее направления и приблизительное определение ее формы, осуществляемый с помощью метода приведения параллельных данных, балансового, аналитических группировок, графического метода, а также изучение степени тесноты взаимосвязи между признаками посредством расчета различных мер связи.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выра-жения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения. Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).

Нахождение аналитического выражения взаимосвязи производится путем построения уравнения регрессии.

Уравнение регрессии позволяет определить, каким в среднем будет значение результативного признака (У) при том или ином значении факторного признака (X), если остальные факторы, влияющие на У и не связанные с X, рассматривались неизменными (т. е. мы абстрагировались от них).

2.1. Основные задачи и предпосылки применения

корреляционно-регрессионного анализа

Все явления и процессы, характеризующие социально-экономическое развитие и составляющие единую систему национальных счетов, тесно взаимосвязаны и взаимозависимы между собой.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (х₁,х₂;…, х_n).

Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак (Y) подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки х₁,х₂;…, х_n могут иметь произвольный закон распределения. В анализе динамических рядов в качестве факторного признака выступает время t. При этом в регрессионном анализе заранее подразумевается наличие причинно-следственных связей между результативным (Y) и факторными (х₁,х₂;…, х_n ) признаками.

Уравнение регрессии, или статистическая модель связи социально-эконо-мических явлений, выражаемая функцией

y = f (х₁,х₂,…, х_n )

является адекватным реальному моделируемому явлению или процессу при соблюдения следующихтребований их построения.

1. Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями.

2. Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей.

3. Все факторные признаки должны иметь количественное (цифровое) выражение.

4. Наличие достаточно большого объема исследуемой выборочной совокупности.

5. Причинно-следственные связи между явлениями и процессами следует описывать линейной или приводимой к линейной формами зависимости.

6. Отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи.

7. Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности.

Соблюдение этих требований позволяет исследователю построить статис-тическую модель связи, наилучшим образом аппроксимирующую моделируемые социально-экономические явления и процессы.

Построение регрессионных моделей, какими бы сложными они не были, само по себе не вскрывает полностью всех причинно-следственных связей. Основой их адекватности является предварительный качественный анализ, основанный на учете специфики и особенностей сущности исследуемых социально-экономических явлений.

К задачам регрессионного анализа относятся:

1) установление формы зависимости;

2) определение уравнения регрессии т.е. определение неизвестных коэффициентов модели;

Оценка неизвестных значений зависимой переменной.

По аналитическому выражению различают линейную и нелинейную связи.

Линейная связь имеет место, когда с возрастанием (или убыванием) значений Х значения Y увеличиваются (или уменьшаются) более или менее равномерно.

Математически линейная связь может быть выражена уравнением прямой, которое называется линейным уравнением регрессии:

Y_теор = b₀ + b₁·X ,

где Х- факторный признак; Y_теор –результативный признак; b_0, b₁- коэффициенты уравнения.

Если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, степенной, показательной, экспоненциальной и т. д.), то такую связь называютнелинейной.В экономическом анализе для ее выражения часто пользуются уравнением параболы второго порядка:

Y_теор= b₀ + b₁·X + b₂· X²

Уравнение нелинейной связи может быть выражено и в виде уравнения гиперболы:

Y_теор= b₀ + b₁/X

или показательной функции:

Y_теор= b_{0 ·} b₁^X

После определения формы связи, т.е. вида уравнения регрессии, по эмпирическим данным определяют коэффициенты искомого уравнения.

Расчет коэффициентов модели

Чаще всего определение коэффициентов уравнения регрессии осуществляется с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Сущность МНК заключается в том, что сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений, полученных по уравнению регрессии, должна быть минимальной.

где Y_i- фактические (экспериментальные) значения результативного признака; Y_теор- значения результативного признака, полученного по уравнению регрессии.

В зависимости от формы связи в каждом конкретном случае определяется своя система уравнений, удовлетворяющая условию минимизации.

Линейная зависимость

Для функции y = f(x), имеющей вид:

y = b₀ +b₁x.

коэффициенты a₀ и a₁ определяются из условия, чтобы сумма квадратов разности между левой и правой частями была бы минимальной.

(11 )

Используя метод нахождения экстремума путем вычисления соответствующих частных производных и приравнивая их к нулю

,

находят систему нормальных уравнений:

(12)

Коэффициенты b₁ и b₀ определяются по формулам:

, (13)

, или . (13 а )

Экспоненциальная (степенная) зависимость

Для функции y = f(x), имеющей вид:

Коэффициенты b₁ и b₀ определяются по формулам

, (14)

Параболическая зависимость

Для функции y = f(x), имеющей вид:

y = b₀+b₁x+b₂x² .

Коэффициенты b₀, b₁, b₂ определяются при решении системы из трех уравнений (например, методом Гаусса ):

(15)

,

,

;

;

;

.

(16)

Для функции y = f(x), имеющей вид:

y= b₀ + b₁/X

система уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии имеет вид:

(17)

Для функции y = f(x), имеющей вид:

y=b₀·b₁^x

система уравнений для определения коэффициентов уравнения имеет вид:

(18)