Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.

Вероятность события А обозначается Классическое определение вероятности - student2.ru . В соответствии с определением

Классическое определение вероятности - student2.ru

где Классическое определение вероятности - student2.ru – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим. При вычислении вероятностей событий с использованием классического определения, могут быть использованы формулы комбинаторики.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

Число возможных перестановок из n элементов обозначают через Классическое определение вероятности - student2.ru , это число равно n!:

Классическое определение вероятности - student2.ru

где Классическое определение вероятности - student2.ru по определению полагают, что Классическое определение вероятности - student2.ru

Размещенияминазывают множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всевозможных размещений определяется формулой

Классическое определение вероятности - student2.ru ,

или

Классическое определение вероятности - student2.ru

Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m определяется формулой

Классическое определение вероятности - student2.ru

Число перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством

Классическое определение вероятности - student2.ru

В приведенных формулах предполагалось, что все n элементов различны.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы.Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно Классическое определение вероятности - student2.ru способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана Классическое определение вероятности - student2.ru способами.

Пример 1

В ящике находятся 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров. Наудачу выбирают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара (событие А)?

Решение

В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет Классическое определение вероятности - student2.ru . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать Классическое определение вероятности - student2.ru способами, два синих шара из 9 можно выбрать Классическое определение вероятности - student2.ru способами, один зеленый из 6 – Классическое определение вероятности - student2.ru способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию А, будет Классическое определение вероятности - student2.ru .

По формуле Классическое определение вероятности - student2.ru находим искомую вероятность

Классическое определение вероятности - student2.ru .

Пример 2

На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?

Решение

Из пяти различных элементов можно составить Классическое определение вероятности - student2.ru перестановок

Классическое определение вероятности - student2.ru .

Значит, всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию – только один. Следовательно,

Классическое определение вероятности - student2.ru .

Пример 3

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помнил лишь, что эти цифры различные. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение

Событие А – набраны три нужные цифры. Вероятность Классическое определение вероятности - student2.ru , Классическое определение вероятности - student2.ru – число исходов, благоприятствующих событию А, Классическое определение вероятности - student2.ru – число всех возможных вариантов набора, поэтому искомая вероятность

Классическое определение вероятности - student2.ru .

Наши рекомендации