Формула полной вероятности и Байеса

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорныезначения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными(послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Априорные Новая информация Байесовский Апостериорные

вероятности из каких-либо анализ вероятности

источников

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H₁), P(H₂),…P(H_i),…P(H_n).

Так как события H_i образуют полную группу, то .Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H₁), P(A/H₂), …P(A/H_i)…, P(A/H_n), i=1, 2, …, n.

Так как заранее неизвестно с каким из событий H_i произойдет событие А, то события H_i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий H_i с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как:

(15)

Эта вероятность называется полной вероятностью.

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

или (16)

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Пример 10.Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0.75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероятность равна 0.30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в будущем году равна 0.80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?

Решение. Событие А – “акции компании поднимутся в цене в будущем году”.

№ Hi	Гипотезы Hi	P(Hi)	P(A/Hi)	P(Hi)·P(A/Hi)
	H1 - “подъем экономики”	0.80	0.75	0.60
	H2 - “спад экономики”	0.20	0.30	0.06
å	1.00	--	P(A) = 0.66

Пример 11. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0.7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0.4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0.2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0.3, умеренного экономического роста 0.5 и низкого роста - 0.2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода, чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста.

Решение. Определим гипотезы:

Н₁ - “активный экономический рост”

Н₂ - “умеренный экономический рост”

Н₃ - “низкий экономический рост”

Определим событие А - “доллар дорожает”

Имеем: Р(Н₁) = 0.3, Р(Н₂) = 0.5, Р(Н₃) = 0.2,

Р(А/Н₁) = 0.7,

Р(А/Н₂) = 0.4 и Р(А/Н₃) = 0.2

Найти: Р(Н₁/А)

Используя формулу Байеса (17) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Можно получить тот же результат в таблице:

Гипотезы Hi	Априорные вероятности P(Hi)	Условные вероятности P(A/Hi)	Совместные вероятности P(A Hi)	Апостериорные вероятности P(Hi/A)
H1	0.30	0.70	0.21	0.21 / 0.45 = 0.467
H2	0.50	0.40	0.20	0.20 / 0.45 = 0.444
H3	0.20	0.20	0.04	0.04 / 0.45 = 0.089
Сумма	1.00	--	0.45