Последовательность решения задач по

определению вероятности события:

1. Определить состав опыта.

2. Определить элементарное событие в данном опыте.

3. Определить полную группу событий, найти число элементарных исходов, составляющих полную группу событий.

4. Определить интересующее нас событие, найти число элементарных исходов, составляющих интересующее нас событие.

5. Найти вероятность события по формуле (1).

Пример 1.В урне содержится 6 шаров одинаковых по размеру и весу. 3 из них – белые, 2 черных и 1 красный. Дайте количественную оценку того, что извлеченный наудачу шар будет черным.

Решение.

Обозначим событие, состоящее в извлечении черного шара, заглавной латинской буквой А

Имеем следующие исходы испытания:

B₁, B₂, B₃– появление белого шара,

B₄, B₅– появление черного шара,

B₆– появление красного шара.

Исходы B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ – исходы элементарных событий или элементарные исходы.

Элементарные исходы,при которых наступает интересующее нас событие – благоприятствующие исходы. Это - исходы B₄, B_5.

За количественную оценку наступления события А (шар будет черным) принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события А к их общему числу, то есть 2/6=1/3.

Число 1/3 – есть вероятность наступления события А. Это записывается так:

Пример 2. Монета подбрасывается три раза. Найдите вероятность того, что при этом (безразлично в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра?

Решение.

1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет).

2. Элементарным событием (исходом) является любое сочетание последовательности выпадений сторон на трех подбрасываемых монетах.

3. , .

4. Событие - «выпадение двух гербов и одной цифры», .

5. .

5.

Алгебра событий

Различные события и действия с ними удобно рассматривать с помощью, так называемых, диаграмм Венна (по имени английского математика-логика Джона Венна (1834 -1932)).

Изобразим полную группу событий в виде квадрата, тогда круг внутри квадрата будет обозначать некоторое событие, скажемА, а точка – элементарное событие – Е.

·Е а

Рисунок демонстрирует два противоположных событияА и не А, которые дополняют друг друга до полной группы событий.

Противоположное событие обозначается -

А В

ПересечениеА и В (обозначается как A B) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В.

Пример 3. Определим событие как множество студентов, сдавших зимнюю сессию только на отлично, а событие - как множество студентов, сдавших летнюю сессию только на отлично. Тогда пересечение - подмножество студентов, сдавших на отлично и зимнюю и летнюю сессии.

Пример 4. Если событие - выигрыш по билету одной лотереи, событие - выигрыш по билету другой лотереи, то событие означает выигрыш по билетам обеих лотерей.

Объединение А и В (обозначается A B) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе.

Пример 5. Если события имеют тот же смысл, как и в примере 3, то сумма событий - подмножество студентов, сдавших на отлично или летнюю или зимнюю или обе сессии.

Пример 6. Если событие - выигрыш по билету одной лотереи, событие - выигрыш по билету другой лотереи, то событие означает выигрыш хотя бы по одному билету, т.е. по билету первой лотереи, или второй, или первой и второй.

Сумма и произведение большого числа событий определяется аналогично.