Тема 5. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
ВАРИАЦИЯ – (в переводе с лат. – изменение, колеблемость, различие) это различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени.
Вариация порождается комплексом условий, действующих на совокупность и её единицы, и присуща всем без исключения явлениям природы и общества (за исключением законодательно закреплённых нормативных значений отдельных социальных признаков).
Измерение вариации даёт возможность оценить степень влияния на изучаемый признак других варьирующих признаков. Например, установить, какие факторы и в какой степени влияют на смертность населения, финансовое положение предприятий, урожайность пшеницы и т. п.
Для измерения вариации признака применяются различные обобщающие показатели.
1. Размах колебаний (вариации) (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: .
2. Формулы для расчёта среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратического отклонения зависят от того, в каком виде представлены данные (сгруппированы они или нет) (таблица 6).
Таблица 6 – Показатели вариации
Показатель | Для первичного ряда (по несгруппированным данным) | Для вариационного ряда (по сгруппированным данным) |
Среднее линейное отклонение | ![]() | ![]() |
Дисперсия | ![]() | ![]() |
Среднее квадратическое отклонение | ![]() | ![]() |
Качественные (альтернативные) признаки, так же как и количественные варьируют (изменяются). Вариация альтернативного признака оценивается с помощью показателя дисперсии, определяемого по формуле: , где p – доля единиц, обладающих данным признаком; q – доля единиц, не обладающих данным признаком.
При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной средней арифметической используются относительные показатели рассеивания (вариации). К относительным показателям вариации относятся:
1) коэффициент осцилляции ;
2) относительное линейное отклонение ;
3) коэффициент вариации , используется для оценки типичности средней величины признака. Совокупность считается однородной, а средняя типичной для данной совокупности, если коэффициент вариации не больше 33 %.
Для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, используется разложение общей дисперсии на составляющие: межгрупповую дисперсию и среднюю дисперсию из внутригрупповых.
Общая дисперсия рассчитывается по всей совокупности и характеризует вариацию признака, обусловленную влиянием всех факторов, действующих в совокупности:
![]() | ![]() |
Межгрупповая дисперсия (является мерой колеблемости частных или групповых средних вокруг общей средней) характеризует вариацию признака, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки: .
Вариацию признака под влиянием прочих факторов (помимо признака-фактора, положенного в основу группировки), действующих в совокупности, характеризует средняя дисперсия из внутригрупповых (частных) дисперсий: .
Внутригрупповая (частная) дисперсия: , отражает вариацию признака только за счёт условий и причин, действующих внутри группы.
Между названными видами дисперсий существует определённое соотношение, которое называют ЗАКОНОМ (правилом) сложения дисперсий: .
Отношение межгрупповой дисперсии к общей даст коэффициент детерминации , который характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную признаком-фактором, положенным в основу группировки, в общей вариации признака.
Показатель, полученный как корень квадратный из коэффициента детерминации, называется эмпирическим корреляционным отношением: .
Эмпирическое корреляционное соотношение характеризует тесноту связи между результативным и факторным признаками. Чем ближе эмпирическое корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.
УПРАЖНЕНИЯ
Задача 5.1 Фазовая проницаемость нефти Y и насыщенность породы нефтью X характеризуются следующими данными:
X | 0,05 | 0,15 | 0,25 | 0,35 | 0,45 | 0,55 | 0,65 | 0,75 | 0,85 | 0,95 |
Y | 0,35 | 0,45 | 0,55 | 0,65 | 0,75 | 0,8 | 0,85 | 0,95 | 1,00 | 1,25 |
Вычислите показатели вариации для проницаемости нефти Y и насыщенности породы нефтью X: размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
При расчете дисперсии воспользуйтесь методом моментов:
для Х: ; для Y:
,
где n – число наблюдений.
Среднее квадратическое отклонение можно вычислить, как квадратный корень из дисперсии: для Х , для Y
.
Сформулируйте выводы о характере вариации изучаемых показателей.
Номер наблюдения | Проницаемость нефти (х) | Насыщенность породы (у) | х2 | у2 |
Итого | ||||
Средняя | ||||
Размах | - | - | ||
Дисперсия | - | - | ||
СКО | - | - | ||
Коэфф. вариации | - | - |
Задача 5.2. Вычислите показатели вариации для количества израсходованных долот Y и механической скорости проходки X: размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчеты оформите в таблице по аналогии с заданием 5.1.
X | ||||||||||
Y |
Задача 5.3. Вычислите показатели вариации для скорости бурения в твердых породах Y (м/час) и нагрузки на долото X (атм.): размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчеты оформите в таблице по аналогии с заданием 5.1.
X | 10,5 | 11,5 | 12,0 | 12,5 | 13,5 | |||
Y | 3,5 | 2,5 | 2,5 | 1,5 | 0,5 | 0,5 |