Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициаентами
Производная функции. Дифференциал.
Производной функции γ=f(x) называется функция f'(x), равная пределу отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю: 
где 
х - приращение аргумента х.
Производная функция у обозначается также через у' и 
Неопределенный интеграл, интегрирование тригонометрических функций.
Опр. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на множестве X называют неопределенным интегралом функции f(x) на множестве X и обозначают 
.
Интегрирование тригонометрических функций:
инт sinxdx=-cosx+C, cosxdx=sinx+C, tgxdx=-ln|cosx|+C, ctgxdx=ln|sinx|+C
Определенный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.
Определенным интегралом от функции f(x) на сегменте (a,b) называется предел суммы f( 
)* 
, при условии, что этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения сегмента (a,b) на элементарные сегменты: 
Геом. смысл. Вычисление площадей плоских фигур: 
Вычисление объема с известным поперечным сечением: 
Вычисление объема тела вращения: 
, где r=y(x) радиус сечения
Числовые и степенные ряды. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.
Обычный числовой ряд состоит из чисел: 
Все члены ряда 
– это ЧИСЛА.
Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ: 
все члены функционального ряда 
– это функции.
Степенной ряд – это ряд, в общий член 
которого входят целые положительные степени независимой переменной 
. Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: 
, где 
– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от n). Простейший пример:
Ряды Фурье.
Разложение функции в ряд Фурье на промежутке 
Рассмотрим некоторую функцию 
, которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где 
– так называемые коэффициенты Фурье.
При этом число 
называют периодом разложения, а число 
–полупериодом разложения.
Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:
Действительно, распишем его подробно:
Нулевой член ряда принято записывать в виде 
.
Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициаентами.
Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0.
Решение.
Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:
Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:
где C1 и C2 − произвольные постоянные.
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.
Решение:
1)Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение: 
2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение 
неоднородного уравнения
Частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:
Найдём первую и вторую производную:
Подставим и 
в левую часть неоднородного уравнения:
(1) Выполняем подстановку и 
.
(2) Раскрываем скобки.
(3) После максимальных упрощений ставим знак равенства и приписываем нашу правую часть 
.
Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:
Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.
В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.
Подставляем найденные значения 
в наш исходный подбор частного решения :
Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
Всё!
Ответ: общее решение: 