Методические указания к выполнению контрольной работы №2
Раздел II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Задание 1. Вычисление производных
Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция =F(φ(X)), причем промежуточная функция U=(φ(X)) имеет в некоторой точке X производную U’=(φ’(X)), а функция Y=F(U) - в соответствующей точке U производную Y’u=F’(U). Тогда функция Y= F(φ(X)) имеет производную в точке X и Y’x=F'(U)·φ или Y’x=F'u·U’x, т.е. производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной.
При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных в следующей форме (U - дифференцируемая функция от некоторой переменной).
1. Y=C Y’=0.
2. Y=U Y’=U’
3. Y=Uα(α=const) Y’=α·Uα-1·U’
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
Пример. Найти производную функцию.
т.е. 
где 
Логарифмическая производная
Логарифмическая производная функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции, т.е. 
при y>0.
Нахождение производной от функций, которые допускают допускают операцию логарифмирования, значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. Заметим, что логарифмическую производную будем применять формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y>0.
Пример. Найти y', если 
Производная неявной функции
Функция y(х) называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно y.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая y функцией от x, и вновь полученное уравнение решить относительно производной y’.
Пример. Найти y’x, если 
Задание 2. Исследование функций и построение графиков.
При построении графика функции следует:
1. Найти, область определения функции,
2. Определить четность (нечетность), периодичность функции,
3. Найти точки разрыва,
4. Определить точки пересечения графика с осями координат,
5. Найти точки экстремума я вычислить значения функции в этих точках,
6. Определить интервалы возрастания и убывания функции,
7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости,
8. Определить асимптоты,
9. Найти предельные значения функции при х стремящимся к граничным точкам области определения.
Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок плана.
Исследование функций с помощью производных