Задача 5 Системы одновременных уравнений

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

,

,

.

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

,

,

,

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Модель имеет три эндогенные (y₁, y₂, y₃) и три экзогенные (x₁, x₂, x₃) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимые (H) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных – 2 (y₁, y₃),

отсутствующих экзогенных – 1 (x₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют y₂ и x₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
y2	x2
Второе	-1	a22
Третье	b32

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение:

Н: эндогенных переменных – 3 (y₁, y₂, y₃),

отсутствующих экзогенных – 2 (x₁, x₃).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x₁ и x₃. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
x1	x3
Первое	a11	a13
Третье	a31	a33

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение:

Н: эндогенных переменных – 2 (y₂, y₃),

отсутствующих экзогенных – 1 (x₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют y₁ и x₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
y1	x2
Первое	-1	0
Второе	B21	a22

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим x₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

.

Данное выражение содержит переменные y₃, x₁ и x₃, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

Þ – первое уравнение СФМ;

2) во втором уравнении СФМ нет переменных x₁ и x₃. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим x₁ в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x₃, которого нет в СФМ.

Выразим x₃ из третьего уравнения ПФМ:

.

Подставим его в выражение x₁:

;

.

Второй этап: аналогично, чтобы выразить x₃ через искомые y₁, y₃ и x₂, заменим в выражении x₃ значение x₁ на полученное из первого уравнения ПФМ:

.

Следовательно, .

Подставим полученные x₁ и x₃ во второе уравнение ПФМ:

Þ

– второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем. Суммируя все уравнения, получим

,

,

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим x₁, домножив первое уравнение на 3, а второе – на (-2) и просуммировав их:

,

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем x₃, а именно:

½-26,

½ 17,

,

, Þ

Þ ;

3) из второго уравнения ПФМ выразим x₂, так как его нет в третьем уравнении СФМ: .

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

Þ – третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид:

,

,

.

Задача 5. Имеются структурная модель и приведенная форма модели. Используя таблицу соответствующего варианта:

1. оценить данную структурную модель на идентификацию;
2. исходя из приведенной формы модели уравнений найти структурные коэффициенты модели.

Вариант 1. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 2. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 3. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 4. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант5. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 6. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 7. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 8. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 9. Структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма:

,

,

.

Вариант 10. Структурная модель:

,

,

. Приведенная форма:

,

,

.