Применение квантовой механики для объяснения электрических свойств различных твердых тел

Твердое тело рассматривается как кристаллическое, имеющее правильную внутреннюю структуру, причем атомы и электроны образуют единую систему, в рамках которой выполняются законы квантовой механики.

Квантовые особенности.

- Для изомера атома

1. Наличие разрешающих значений энергий Е1, Е2,…,Еn образуют дискретный ряд.

2. Наличие областей запрещенных значений энергий (Е3-Е2), (Е2-Е1).

3. Так как энергия электрона в изомерном атоме зависит только от «n», то на каждом уровне может быть 2n² разных электронов (которые будут отличаться значениями l, m). 2n² разных электронов – принцип Паули для изомерного электрона.

4. Наличие энергетических уровней не означает обязательное заполнение их электронами.

5. На любом уровне, кроме нормального (возбужденный уровень) электрон может находиться Это есть неопределенность времени пребывания электрона в возбужденном состоянии.

По принципу неопределенностей , где - неопределенность энергии электрона на возбужденном уровне.

При графическом изображении схемы энергетических уровней есть ширина энергетического уровня.

- Для кристалла.

1. Наличие разрешенных энергетических зон. Каждая из этих зон есть совокупность энергетических уровней, число которых равно n=N(2l+1), где N–число атомов, объединенных в кристалле, l-значение квантового числа для того уровня, из которого образуется зона.

2. Наличие запрещенных энергетических зон .

3. Так как энергия электрона в кристалле зависит от трех квантовых чисел (n, l, m), то электроны могут отличаться только по направлению спина, поэтому на каждом уровне в зоне не может быть больше двух электронов (принцип Паули для электрона в атоме), с противоположными спинами. Следовательно, максимальное число электронов в зоне z=2N(2l+1).

4. Наличие энергетических зон не означает обязательное заполнение их электронами.

5. - неопределенное время пребывания электрона под влиянием 1 ядра.

; - неопределенность энергии на перекрытых орбитах, или, иначе это есть ширина соответствующего энергетического уровня. Следовательно, для перекрытия электронных орбит при объединении атомов в кристалл происходит расширение соответствующих энергетических уровней и превращение его в энергетическую зону. Расширение энергетического уровня (ширины энергетической зоны) будет тем меньше, чем меньше номер уровня. В первую очередь будет расширяться валентный энергетический уровень.

Внутренняя структура энергетических зон.

₃Li – изомер. атом

3-ий электрон атома лития в состоянии: n=2,l=0,m=0,* - 2s¹, следовательно, 3 электрона атома лития находятся в состоянии: 1s²2s¹.

Зона 1s – в ней может быть z=2N(2l+1)=2N – полностью заполнена электронами.

Зона 2s – в ней может быть z=2N – полностью заполнена наполовину - валентная зона заполнена на ½.

Кристалл неона – ₁₀Ne.

1s²2s²2p⁶

Зона 1s – полностью заполнена электронами.

Зона 2s – полностью заполнена электронами.

Зона 1р – в ней может быть z=6N – полностью заполнена электронами – валентная зона.

Зона 3s – свободна.

Выводы.

1. Ширина запрещенной зоны определяется межатомным расстоянием в кристалле.

2. Внутренняя структура энергетических зон определяется природой атомов, объединенных в кристалле. Возможны следующие случаи:

а). Таково расположение электронов в нормальном состоянии.

Так как расстояние между соседними уровнями чрезвычайно мало, то электрон легко перевести на выше расположенный уровень (электрон стал свободным). Следовательно, в кристалле появились носители тока. Потому кристалл с такой структурой является проводником.

б). В данном случае для того, чтобы электрон оказался свободным, и в кристалле появились свободные электроны (электрон должен приложить дополнительную энергию, равную ширине запрещенной зоны и перейти в выше расположенную зону, которая будет в этом случае зоной проводимости). Если ширина запрещенной зоны такова, что никаким образом не удастся оторвать электрон, не разрушив при этом кристалла, то он является диэлектриком. Если ширина запрещенной зоны меньше энергии активации электрона, то, получив дополнительную энергию, электрон может попасть в зону проводимости. Вещество в этом случае будет называться полупроводник.

3. Все написанные ранее формулы являются результатом решения уравнения Шредингера для коллективизированных электронов.