Задача 3 Нелинейная регрессия
Имеются данные по 10 хозяйствам
| Урожайность, ц/га, y | ||||||||||
| Внесено удобрений, кг/га, x | 2,1 | 3,6 | 3,5 | 5,0 | 6,5 | 4,2 | 6,3 | 4,0 | 6,0 | 7,5 |
Требуется:
- Рассчитать параметры степенной и экспоненциальной парных
регрессий. - Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и
детерминации. - Рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- С помощью F- критерия оценить статистическую надежность результатов моделирования.
- Рассчитать линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать вывод о целесообразности замены нелинейной зависимости линейной.
- На основании пунктов 3,4,5 выбрать наилучшее уравнение регрессии.
Решение.
1. Регрессия в виде степенной функции имеет вид 
.
Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:
,
Для расчетов составим таблицу:
| Номер | x | y |  |  |  |  |  |  |
| 2,1 | 0,7419 | 2,7081 | 2,0092 | 0,5505 | 4,41 | 5,6869 | ||
| 3,6 | 1,2809 | 2,8904 | 3,7024 | 1,6408 | 12,96 | 10,4053 | ||
| 3,5 | 1,2528 | 2,8332 | 3,5493 | 1,5694 | 12,25 | 9,9162 | ||
| 5,0 | 1,6094 | 3,0910 | 4,9748 | 2,5903 | 15,4552 | |||
| 6,5 | 1,8718 | 3,2189 | 6,0251 | 3,5036 | 42,25 | 20,9227 | ||
| 4,2 | 1,4351 | 2,9957 | 4,2991 | 2,0595 | 17,64 | 12,5821 | ||
| 6,3 | 1,8405 | 3,1781 | 5,8494 | 3,3876 | 39,69 | 20,0217 | ||
| 4,0 | 1,3863 | 2,9444 | 4,0819 | 1,9218 | 11,7778 | |||
| 6,0 | 1,7918 | 3,1355 | 5,6181 | 3,2104 | 18,8130 | |||
| 7,5 | 2,0149 | 3,2958 | 6,6408 | 4,0598 | 56,25 | 24,7188 | ||
 | 48,7 | 15,2255 | 30,2911 | 46,7501 | 24,4938 | 262,45 | 150,2997 | |
| Среднее значение | 4,87 | 1,5225 | 3,0291 | – | – | 26,245 | – |
Таким образом, 
, 
.
Уравнение регрессии 
.
Выполнив потенцирование, получим 
.
Параметр 
является коэффициентом эластичности и означает, что с ростом удобрений на 1% урожайность с гектара повышается на 0,48%.
Регрессия в виде экспоненциальной функции имеет вид 
.
Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:
,
Расчетные данные приведены в таблице выше. Имеем:
, 
.
Уравнение регрессии 
.
Выполнив потенцирование, получим 
2,3. Для расчета показателей корреляции и детерминации необходимо рассчитать теоретические значения 
по построенным моделям. Для этого подставим значения x в уравнения 
и 
, а результаты пропотенцируем.
Расчеты приведем в таблице. Индексы корреляции и детерминации будем рассчитывать по формулам 
, 
.
| Номер | y |  | Степенная функция | Экспоненциальная функция | ||||
 |  |  |  |  |  | |||
| 2,6541 | 14,2126 | 0,6200 | 2,7244 | 15,2473 | 0,0611 | |||
| 2,9131 | 18,4131 | 0,1706 | 2,8894 | 17,9825 | 0,0003 | |||
| 2,8995 | 18,1656 | 1,3585 | 2,8784 | 17,7858 | 0,6175 | |||
| 3,0709 | 21,5607 | 0,1930 | 3,0434 | 20,9764 | 1,0477 | |||
| 3,1969 | 24,4569 | 0,2949 | 3,2084 | 24,7395 | 0,0679 | |||
| 2,9871 | 19,8284 | 0,0295 | 2,9554 | 19,2094 | 0,6250 | |||
| 3,1819 | 24,0925 | 0,0086 | 3,1864 | 24,2011 | 0,0405 | |||
| 2,9637 | 19,3690 | 0,1362 | 2,9334 | 18,7914 | 0,0435 | |||
| 3,1585 | 23,5344 | 0,2855 | 3,1534 | 23,4155 | 0,1727 | |||
| 3,2657 | 26,1974 | 0,6442 | 3,3184 | 27,6161 | 0,3796 | |||
 | – | – | 3,7410 | – | – | 3,0558 |
Для степенной функции индекс детерминации составит 
, а индекс корреляции 
. Таким образом, связь между рассматриваемыми признаками достаточно тесная. Величина индекса детерминации говорит о том, что 97 % изменчивости урожайности объясняется данным уравнением.
F-критерий Фишера составит :
.
Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости 
, следовательно найденное уравнение регрессии 
статистически значимо.
Для экспоненциальной функции индекс детерминации составит 
, индекс корреляции 
. Связь также является достаточно тесной, 98% изменчивости урожайности объясняется данным уравнением.
F-критерий Фишера составит :
.
Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости 
, следовательно найденное уравнение регрессии 
статистически значимо.
4.Индексы корреляции и детерминации рассчитанных моделей различаются незначительно. Возможно, является целесообразным заменить их более простой линейной моделью. Для этого рассчитаем парные линейные коэффициенты корреляции и детерминации по формулам:
,
где 
.
, 
, 
,
.
В случае экспоненциальной модели разность 
, следовательно, вместо экспоненциальной модели можно использовать линейную.
В случае степенной модели 
, что говорит о том, что применение более сложной формы зависимости только ухудшило качество модели.
5. Исходя из вышесказанного, делаем вывод о том, что оптимальной формой зависимости будет линейная, 
. Таким образом, при увеличении количества удобрений на 1 кг/га урожайность возрастает на 2,297 ц/га.
Имеются данные по 10 хозяйствам
Варианты индивидуальных заданий
Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн.долл.), представленными в таблице.
Требуется:
- Рассчитать параметры степенной и экспоненциальной парных
регрессий. - Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и
детерминации. - Рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- С помощью F- критерия оценить статистическую надежность результатов моделирования.
- Рассчитать линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать вывод о целесообразности замены нелинейной зависимости линейной.
- На основании пунктов 3,4,5 выбрать наилучшее уравнение регрессии.