Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной

Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.

Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x

∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)

1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C

3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C

А Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x),известно: d(UV)=VdU+UdV

проинтегрируем обе части уравнения:

∫ d(UV)= ∫ VdU+ ∫ UdV

UV=∫ VdU+ ∫ UdV=> ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m(x)dx, ∫arcsin^mxdx, ∫arccos^m xdx,∫arctg^m xdx

2 ∫Pn(x)lnaxdx,∫Pn(x)e^axdx,∫ Pn(x)sinaxdx,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ф-я вида , где x наз интегралом c перем верхним пределом.

Т: Если непрер на , то произв-я ф-и , сущ в каждой точке на , причем

Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен

x+p/2=t dx=dt a²= или

IV

V. p²/4-q>0

p²/4-q<0

7Интегрирование рациональных дробей

1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=P_n(x)

Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет

Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком

Интегрирование простейших дробей

I. x-a=t dx=dt

II. x-a=t dx=dt

8 Определение опред. интеграла

Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b].

Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x₀<x₁<x₂<…<x_i-1<x_n-1<x_n=b обозн x₁,x₂,…x_n. Кажд частичный инт-л обозн ∆x₁=x₁-x₀, ∆x₂=x₂-x₁, ∆x_i=x_i-x_i-1, ∆x_n=x_n-x_n-1. В каждом частичном инт-ле ∆x_i , i= 1;n выберем т. и выч-мﻉ_I , y=f(x), y=f(ﻉ₁) , f(ﻉ₂) , … f(ﻉ_i) ,… f(ﻉ_n) Cост-м произв-е f(ﻉ₁)∆x₁, f(ﻉ₂)∆x₂ , … f(ﻉ_i)∆x_i ,… f(ﻉ_n)∆x_n. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆x_i и высотой f(ﻉ_i).

О1. Сумма f(ﻉ₁)∆x₁+ f(ﻉ₂)∆x₂ + … f(ﻉ_i)∆x_i +… f(ﻉ_n)∆x_n=∑ f(ﻉ₁)∆x₁ наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры.

Обозн наиб. из разностей ∆x₁₌ x_i-x_i-1 через ОХ. Тогда имеет место определение 2.

О2. Сущ кон предел интегр ∑, т.е. f(ﻉ₁)∆x₁ и он не зав-т от СП-ба разбиения инт-ла [a,b] и выбора точекﻉ₁ на частичных инт-лах ∆x_i, то этот предел наз опред интегралом ф. f(x) на [a,b] и обозн

Т. Для всякой непрер ф-и интеграл сущ.

А Геом. смысл опред. интеграла.

Опред интеграл опред-т точное зн-е S криволин тр-и.

Осн св-ва опред интеграла

Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Если , x ? [a;b]