Алгебра. Функции, уравнения и неравенства
1. Вычислите значение выражения:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
;
д. 
;
е. 
;
ж. 
з. 
;
2. Сравните числа:
а. 
и 
;
б. 
и 
;
в. 
и 
;
г. 
и 
;
д. 
и 
;
е. 
и 
.
3. Найдите числовое значение выражения:
а. 
, если 
;
б. 
, если 
;
в. 
, если 
.
4. Вычислите:
а. 
и 
, если 
;
б. 
, если 
;
5. Упростите выражение:
а. 
;
б. 
;
в. 
.
6. Установите, при каких значениях 
имеет смысл выражение:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
7. Выясните, какое из двух уравнений является следствием другого:
а. 
и 
;
б. 
и 
.
8. Выясните, равносильны ли уравнения:
а. 
и 
;
б. 
и .
9. Решите уравнения:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
10. Решите уравнения:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
11. Решите уравнения:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
12. Решите уравнения:
а. 
;
б. 
.
13. Решите неравенства:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
14. Решите систему уравнений:
а. 
б. 
15. Найдите область определения функции:
а. 
;
б. 
.
16. Функция задана формулой 
. Найдите:
а. 
;
б. значение , при котором 
.
17. Выясните, принадлежит ли графику функции 
точка 
.
18. Постройте график функции. Найдите точку (точки) его пересечения с какой-либо осью (с осями) координат и значения , при которых функция принимает положительные значения:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
19. Решите графически уравнение:
а. 
;
б. 
.
20. Установите, возрастающей или убывающей является функция:
а. 
;
б. 
.
21. Найдите множество значений функции:
а. 
;
б. 
, если 
;
в. 
, если 
.
22. Выясните, является ли чётной или нечётной функция:
а. 
;
б. 
;
в. 
.
Начала математического анализа
1. Постройте касательную к параболе:
а. 
в точке 
;
б. 
в точке 
.
2. Найдите производную функции:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
;
д. 
;
е. 
.
3. Найдите производную функции:
а. 
в точке 
;
б. 
в точке 
.
4. Запишите уравнение касательной к графику функции:
а. 
в точке 
;
б. 
в точке с абсциссой 
.
5. Найдите промежутки монотонности функции:
а. 
;
б. 
;
в. 
;
г. 
.
6. Найдите точки экстремума и экстремумы функции:
а. 
;
б. 
.
7. Вычислите интеграл:
а. 
;
б. 
.
8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а. 
;
б. 
.
Геометрия
1. Изобразите куб 
и укажите:
а. прямые, параллельные прямой 
;
б. прямые, пересекающиеся с прямой 
;
в. прямые, скрещивающиеся с прямой 
;
г. плоскость, параллельную плоскости 
.
2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:
а. пересекаться;
б. быть параллельными;
в. быть скрещивающимися?
3. Через точку 
пересечения диагоналей прямоугольника 
проведена прямая 
, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Найдите длину отрезка 
, если 
, 
, 
.
4. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми 
. Найдите наклонную и её проекцию на плоскость, если длина перпендикуляра 5 см.
5. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 7, 9 и 
.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
7. Основанием прямой призмы является равносторонний треугольник со стороной 6 см. Высота призмы равна 4 см. Найдите площадь поверхности призмы.
8. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 
, а радиус описанной около основания окружности равен 
. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
9. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, проходящей:
а. через две образующие;
б. через некоторую точку поверхности перпендикулярно оси?
10. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей:
а. через ось конуса;
б. через точку поверхности перпендикулярно оси;
в. через две образующие?
11. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 3 м и диаметром 40 см, если на швы необходимо добавить 2% площади её боковой поверхности?
12. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 10 см2,а площадь основания равна 6 см2.
13. Игрушечное ведёрко имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 7 см и 13 см, а образующая равна 10 см. Найдите:
а. высоту ведёрка;
б. массу краски, необходимой для окраски этого ведёрка с обеих сторон, если на окраску 1 см2 требуется 0,2 г краски.
14. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр равна 7 дм2. Найдите площадь поверхности сферы.
15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 12 см и составляет угол с плоскостью основания и 
с ребром основания. Найдите объём параллелепипеда.
16. Найдите объём правильной треугольной пирамиды:
а. высота которой 10 см, а сторона основания 6 см;
б. апофема которой равна 8 см и составляет с плоскостью основания.
17. Какова вместимость цистерны, имеющей форму цилиндра с диаметром 4 м и длиной 10 м?
18. Найдите объём конуса, имеющего высоту h, равную диаметру основания.
19. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 10 см и 18 см, апофема равна 5 см. Найдите объём усечённой пирамиды.
20. Найдите массу метеорита, имеющего форму шара радиуса 1 м, если плотность составляющего её вещества равна 3 г/см3.