Дискретные случайные величины

Простейшей формой выражения закона распределения дискретной СВ Х является таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности :

xi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2	...	рn

Такую таблицу ещё называют рядом распределения СВ.

Все возможные значения СВ Х образуют полную группу несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей, помещённых в таблице равна 1, т.е.

.

Графически ряд распределения представляется ломаной линией, которая называется многоугольником распределения. На оси абсцисс откладываются все возможные значения х СВ X, а на оси ординат - cоответствующие вероятности p_i. Полученные точки ( х , p_i) соединяются отрезками прямых (рис. 6).

Пример. Для изучения уровня зарплаты рабочих обследовано 5 частных предприятий. Вероятность того, что на каждом из них зарплата выше среднего уровня обеспеченности, равна 0,6. Построить ряд расп-ределения и многоугольник распределения СВ Х - числа предприятий, на которых зарплата выше среднего уровня обеспеченности.

4Возможными значениями СВ Хявляются: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=4, x₆=5.

Вероятности этих значений можно вычислить по формуле Бернулли при и :

P(X=0)=P₅(0)= (0,6)⁰(0,4)⁵»0,0102, P(X=1)=P₅(1)= (0,6)¹(0,4)⁴=0,0768, P(X=2)=P₅(2)= (0,6)²(0,4)³ =0,2304, P(X=3)=P₅(3)= (0,6)³(0,4)²=0,3456, P(X=4)=P₅(4)= (0,6)⁴(0,4)¹=0,2592, P(X=5)=P₅(5)= (0,6)⁵(0,4)⁰»0,0778.

Условие выполнено: 0,0102+0,0768+0,2304+0,3456+0,2502+0,0778=1,

все вероятности вычислены верно. Ряд распределения СВ Химеет вид:

. xi
pi	0,0102	0,0768	0,2304	0,3456	0,2592	0,0778

Многоугольник распределения изображен на рис.4.2. 3

Функция распределения.

Пусть Х - случайная величина и х - произвольное действительное число. Вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей СВ Х:

F(x)=P(X<x)

Если рассматривать СВ Х как случайную точку на оси ОХ, которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта окажется левее точки x (рис.4.3.1.).

Cвойства функции распределения:

1) 0£F(x)£1, поскольку является верoятностью.

2) F(x) - неубывающая функция, т.е. при .

3) Функция распределения непрерывной СВ непрерывна: .

4) P(a£X<b)=F(b)-F(a).

5) Вероятность того, что непрерывная СВ Хпримет одно определенное значение, равна нулю: , но

6) .

Схематично функция распределения непрерывной СВ может быть представлена графиком, изображенным на рис.4.3.2.

Для дискретной СВ X, которая принимает значения x₁, x₂, …, x_n , функция распределения вычисляется согласно правила:

F(x)=P(X<x)=,

где символ x_i<x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все значения СВ, которые по своей величине меньше аргумента х.

Пример. Производится три независимых исследования оборачиваемости средств предприятия. Вероятность ошибки при каждом исследовании равна 0,4. Построить функцию распределения СВ Х - числа ошибок.

4 Возможными значениями СВХ будут: x₁=0,x₂=1, x₃=2, x₄=3.

Вероятности этих значений можно вычислить поформулеБернулли:

,

где n=3; ; р = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6.

Получим: Р(Х=0)=0,216, Р(Х=1)=0,432, Р(Х=2)=0,288, P(X=3)=0,064. Контроль: .

Ряд распределения представится таблицей:

Х
P(X=xi)	0,216	0,432	0,288	0,064

Функция распределения имеет вид:

F(x)= , её график представлен на рис. 4.5.3

Пример 4.3. Функция распределения непрерывной СВ Х имеет вид: F(x) = . Найти коэффициент a и построить график F(х). Определить вероятность того, что СВ в результате опыта примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

4Так как функция распределения непрерывной СВ Xдолжна быть непрерывной в любой точке, то:

= 1 Þ

a(3-1)² = 1 Þ a=1/4.

График функции F(х)изображен на рис.4.6. На основании свойства (4) функции распределения вычислим: P(1<X<2) = F(2) ‑ F(1) = 1/4. 3