Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

Приведены данные о количестве продукции, проданной компанией в течение последних 13 кварталов.

Дата Объем продаж, тыс. шт. Дата Объем продаж, тыс. шт.
Январь-март 2003 Октябрь-декабрь
Апрель-июнь Январь-март 2005
Июль-сентябрь Апрель-июнь
Октябрь-декабрь Июль-сентябрь
Январь-март 2004 Октябрь-декабрь
Апрель-июнь Январь-март 2006
Июль-сентябрь    

Требуется:

1.Построить аддитивную модель временного ряда.

2.Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение.

1. Проанализируем данные и попробуем обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, то построенную модель можно будет использовать для прогнозирования объема продаж в следующих кварталах.

Для этого построим график временного ряда (см. рис.).

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru

Из графика следует, что возможен возрастающий тренд, содержащий сезонные колебания. Так объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменилась за последние три года. Тренд показывает, что в среднем объем продаж возрос с 240 тыс. шт. в 2003 г. до 480 тыс. шт. в 2006 г., однако увеличение сезонных колебаний не наблюдалось. Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru . (1)

2. Расчет сезонной компоненты.

Для исключения влияния сезонной компоненты используют метод скользящей средней, суть которого заключается в нахождении среднего арифметического значения параметра за m моментов времени

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru .

Для рассмотренных данных об объемах продаж проведем следующие расчеты.

1. Производя скольжение по значениям квартальных продаж из колонки 2, вычислим сумму продаж за каждые четыре квартала и внесем ее в колонку 3 табл. 1.

2. Вычислим скользящую среднюю за каждые 4 квартала (колонка 4).

3. Поскольку усредненные данные, внесенные в колонку 3, относятся не к конкретному кварталу, а к моменту времени между двумя кварталами (например, между апрелем-июнем и июлем-сентябрем 2003 г.), то необходимо получить центрированную скользящую среднюю для каждой пары значений из колонки 4. Полученные значения относятся к конкретным кварталам, начиная с июля-сентября 2003 года, их вносят в колонку 5. Таким образом, величины из колонки 5 являются десезонализированными средними значениями за квартал.

4. Сезонную компоненту, содержащую остаток, рассчитывают по формуле Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru и вносят в колонку 6.

5. Используя данные за все годы, вычисляют среднее значение для каждого квартала, что позволит уменьшить значения ошибок (табл. 2).

6. Средние оценки сезонной компоненты корректируются, путем увеличения или уменьшения некоторых из них на одно и то же число, таким образом, чтобы их общая сумма была равна 0. Корректирующий фактор рассчитывают следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Например, если в качестве сезонов рассматриваются не кварталы, а дни недели, то устранения влияния сезонной компоненты рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг. Поэтому в этом случае необходимость в центрировании отпадает.

3. Десезонализация данных при расчете тренда.

Десезонализация исходных данных заключается в вычитании скорректированных сезонных компонент (последняя строка табл. 2) из фактических значений данных за каждый квартал, т.е. Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru (табл. 3).

Нанесем значения новых оценок тренда из колонки 4 на график исходных данных, что еще раз подтвердит существование явного линейного тренда.

Определим уравнение линии тренда методом наименьших квадратов

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru . (2)

Таблица 1

Дата Объем продаж, тыс. шт. Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru
Январь-март 2003      
Апрель-июнь      
    229,75    
Июль-сентябрь     240,375 –58,375
       
Октябрь-декабрь     260,625 +36,375
    270,25    
Январь-март 2004     279,625 +44,375
       
Апрель-июнь     299,875 –21,875
    310,75    
Июль-сентябрь     320,375 –63,375
       
Октябрь-декабрь     340,25 +43,75
    350,5    
Январь-март 2005     360,25 +40,75
       
Апрель-июнь     379,75 –19,75
    389,5    
Июль-сентябрь     399,5 –64,5
    409,5    
Октябрь-декабрь      
           
Январь-март 2006      

Таблица 2

  Год Номер квартала
     
  – +44,375 +40,75 – –21,875 –19,75 –58,375 –63,375 –64,5 +36,375 +43,75 –  
Итого   +85,125 –41,625 –186,25 +80,125  
Средняя оценка сезонной компоненты   +42,563 Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru –20,813 Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru –62,083 Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru +40,063 Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru Сумма –0,27
Скорректированная сезонная компонента   +42,631 –20,746 –62,016 +40,131 Сумма 0,0

Таблица 3

Номер квартала Объем продаж Y, тыс. шт. Сезонная компонента S Десезонализированный объем продаж, тыс. шт.
+42,631 196,369
‑20,746 221,746
‑62,016 244,016
+40,131 256,869
       
+42,631 281,369
‑20,746 298,746
‑62,016 319,016
+40,131 343,869
       
+42,631 358,369
‑20,746 380,746
‑62,016 397,016
+40,131 421,869
       
+42,631 438,369

4. Расчет ошибок

Из (1) следует, что величина ошибки равна

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru .

Значение T найдем из уравнения (2), а S из табл. 2. Результаты расчета представлены в табл. 4.

Таблица 4

Номер квартала Объем продаж Y, тыс. шт. Сезонная компонента S Тренд, T тыс. шт. Ошибка S, тыс. шт.
+42,631 200,028 ‑3,659 (1,5%)
‑20,746 220,003 +1,743 (0,9%)
‑62,016 239,978 4,038 (2,2%)
+40,131 259,953 ‑3,084 (1,0%)
+42,631 279,928 +1,441 (0,4%)
‑20,746 299,903 ‑1,157 (0,4%)
‑62,016 319,878 ‑0,862 (0,3%)
+40,131 339,853 +4,016 (1,0%)
+42,631 359,828 ‑1,459 (0,4%)
‑20,746 379,803 +0,943 (0,3%)
‑62,016 399,778 ‑2,762 (0,8%)
+40,131 419,753 +2,116 (0,5%)
+42,631 439,728 ‑1,359 (0,3%)

Столбец 5 можно использовать при расчете среднего абсолютного отклонения MAD (mean absolute deviation) и средней квадратической ошибки MSE (mean square error):

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru и Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru .

где Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru и Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru – это фактическое и прогнозное значение в момент времени t.

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 0,2% до 2,2%. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

5.Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозные значения рассчитываются по формуле

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru (тыс. шт. за квартал),

где x – номер квартала, на который дается прогноз, T – значение тренда, рассчитанное по (2), S(x) – сезонная компонента, составляющая в январе-марте 42,6, в апреле-июне – 20,7, в июле-сентябре – 62,0, в октябре-декабре – 40,1. Например, прогноз на апрель-июнь 2006 г. (x = 14) имеет вид

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru ,

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ - student2.ru тыс. шт.

Можно предположить, что ошибка прогноза будет приблизительно 0,3-2,2% в соответствии с рассчитанными ошибками модели, но чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза.

Наши рекомендации