Вопрос 39. Предмет математической статистики

Предметомматем. статистики явл. изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностьюназывается совокуп. предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком. Результатом наблюдений над статист.совокуп. явл. статистические данные – сведения о том, какие значения принял в итоге наблюдений интересующий нас признак (случ. величина Х).

Обработка статист.данных методами матем. статистики приводит к установлению определенных закономерностей, присущих массовым явлениям. При этом точность статистис. выводов повышается с ростом числа наблюдений.

Статис. данные, как правило, представляют собой ряд значений {х1, х2,…..,хn}некоторый случайной величины Х. Исследование случайной величины начинается с обработки этого ряда значений. Затем строятся функции, характер.случайную величину. Эти функции назыв. статистиками.

Т.о., статистика – это функция

Т : (х1, х2,…..хn)→ Т (х1, х2,…..хn),

которая набору значений {х1, х2,…..,хn} случайной величины сопоставляет по некоторому правилу действительное число. Статистика явл. функцией от реализаций случайной величины.

В теорет. исследованиях удобно рассматривать статистикуТкак функцию от случайных величин Х1, Х2, ….., Хn, имеющих такое же распределение, как и случайная величина Х:

Т =Т(Х1, Х2,…..Хn).

Т.о., мы рассматриваем случайную величину Х как набор одинаковых случайных величин {Х1, Х2,…..Хn}. В такой трактовке статистика становится случайной величиной и изучение ее распределения приводит к выводам о распределении самой случайной величины Х.

Вопрос 40. Генеральная и выборочная совокупность.

Генеральной совокуп. назыв. совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению при статистич. анализе.

В математ. статист.генер. совокуп. часто понимается как совокуп. всех мыслимых наблюдений, которые могли быть произведены при выполнении некоторых условий. Понятие генер. совокуп. аналогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей), так как обе они полностью определяются заданными условиями.

Генер. совокуп. может быть конечной или бесконечной.

Объемомгенер. совокуп. назыв. число ее объектов (наблюдений).

Выборочной совокупностьюназывается часть объектов генер. совокуп., используемая для исследования.

Сущность выбор.метода в матем. статистике заключ. в том, чтобы по определ. части генеральной совокупности (выборке) судить о ее свойствах в целом.

Выборочный метод явл. единственно возможным в случае бесконечной генеральной совокупности или когда исследование связано с уничтожением (гибелью) наблюдаемых объектов. Для того чтобы по выборке можно было адекватно судить о случайной величине, она должна быть представительной (репрезентативной.)Репрезентативность выборки обеспечивается объемом выборке и случайностью отбора ее элементов, так как все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку.

Имеются 2 способа образования выборки:

1) повторная выборка,когда каждый элемент, случайно отобранный и исследованный, возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно;

2) бесповторная выборка, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Алгебра событий.

Пространством элементарных событий наз. множество всех элементарных исходов, относящихся к заданному опыту.

Суммой (или объединением ) 2 событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие событиям или .

Произведением (или пересечением ) 2 событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие одновременно событиям и .

Событие наз. противоположным событию , если событию благоприятствуют все те элементарные исходы, которые не являются благоприятствующими для события .

ТЕОРЕМА. Сумма вероятностей противоположных событий = 1.

ТЕОРЕМА. Если события и совместны, вероятность суммы событий = сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно r раз (безразлично, в какой последовательности), равна .

или

где q=1-p

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее * раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам: