Формула полной вероятности

Перечень примерных вопросов к экзамену (зачету) по теории вероятностей

1.Случайное событие. Составные и элементарные события.

2.Достоверное и невозможное событие. Полная группа событий.

3.Произведение и сумма событий.

Произведение событий

Условной вероятностьюP(B | A) называется вероятность события В, вычис-

ленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема.Вероятность произведения двух событий равна произведению ве-

роятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в

предположении, что первое событие уже наступило:

P(AB) = P(A)P(B | A) = P(В)P(А | В).

Следствие.Вероятность совместного появления нескольких событий равна

произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех ос-

тальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в

предположении, что все предыдущие события уже появились:

P(A1A2A3...An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)...P(An | A1A2...An-1).

Два события А и В называются независимыми, если

P(AB) = P(A)P(B).

Сумма событий

Теорема.Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий

равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).

Теорема.Сумма вероятностей событий A1, A2,..., An, образующих полную

группу, равна единице:

P(A1) + P(A2) +...+ P(An) = 1.

Теорема.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P( A ) = 1.

Теорема.Вероятность суммы совместныхсобытий равна сумме вероятно-

стей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

4.Понятие вероятности события. Классическая формула расчета вероятностей. Свойства вероятностей.

5.Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

6.Несовместные и совместные события. Теорема сложения вероятностей.

7.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности

Теорема.Вероятность события А, которое может наступить при условии по-

явления одного из несовместных событий B1, B2,..., Bn, образующих полную

группу и называемых гипотезами, равна сумме произведений вероятностей

каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события

А:

P(A) = P(B1) P(A | B1) + P(B2) P(A | B2) +...+ P(Bn) P(A | Bn).

Пример.Студент знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В каком

случае вероятность сдать экзамен больше: когда студент подходит тянуть

билет первым или вторым по счету?

Решение.Обозначим события: А – вытягивает выученный билет, подходя

первым; В – вытягивает выученный билет, подходя вторым.

Р(А) = 10/25 = 0,4 (число благоприятствующих исходов равно числу вы-

ученных билетов; число всех элементарных исходов равно числу билетов).

Событие В может наступить при появлении одного из двух несовместных

событий С1 (первый взятый билет был известен нашему студенту) и С2 (первый взятый билет был невыученный билет). Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несо-

вместных событий B1, B2,..., Bn, образующих полную группу. Тогда условная

вероятность любого события Bi (i = 1, 2, ..., n) при условии, что событие A уже

произошло, вычисляется по формуле Байеса:

По формуле полной вероятности

8.Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения. Ряд распределения. Функция распределения дискретной случайной величины.

Случайной величинойназывается переменная величина, значения которой

зависят от случая. Примеры случайных величин: число попаданий в мишень

при данном числе выстрелов; число очков, выпадающее при бросании иг-

ральной кости.

Случайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать,

называется дискретной.При этом число значений может быть конечным или

бесконечным.