Правила дифференцирования

Определение. Производной функции в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при , если он существует.

По определению

.

Таблица производных

№		№
	,

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю: .

2.

Теорема. Если каждая из функций и дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии ) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

1) ,

2) ,

3) .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Пример

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции .

Решение

Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция где или .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем

или

Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если , или и существуют производные , то .

Пример

Найти производную функции .

Решение

Здесь ,

, тогда .

Метод логарифмического дифференцирования

Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции , показательно – степенной функции , а также, если функция представляет собой выражение вида . Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основанию е, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.

Пример

Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение

Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основанию е:

,

применяя свойства логарифмов, получим

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:

,

умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение , получим

.

Производная функции, заданной неявно

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнением и известно, что существует решение этого уравнения в виде ; подставив это решение в уравнение, получим тождество .

Продифференцировав по х, получим уравнение для нахождения производной .

Пример

Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х: