Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой

При изучении социально-экономических процессов и явлений может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня, например, образование, пол, фактор сезонности. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Оценить влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уровня регрессии можно путем введения фиктивных переменных.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные) переменные, которые принимают всего два значения: «0» и «1». Например, при исследовании зависимости заработной платы от уровня образования Z можно рассмотреть k=3 уровня: начальное образование, среднее и высшее. Обычно вводят (k-1) бинарную переменную. В нашем случае потребуется ввести две фиктивные переменные:

х₁, …, х_т – экономические (количественные) переменные.

Наличие у работника начального образования будет отражено парой значений z₁=0, z₂=0.

Параметры при фиктивных переменных z₁ и z₂ представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы (в нашем примере это работники с начальным образованием).

При построении регрессионных моделей по неоднородным данным необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле, можно ли объединить их в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться тестом Г.Чоу.

По каждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид – Н₀ : b' = b''; D(ε') = D(ε'') = σ².

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объема п = п₁ + п₂.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза Н₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

> F_{α;m+1;n-2m-2},

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, п = п₁ + п₂.

Для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного рядя можно также использовать тест Д.Гуйарати.

Пример 4. Рассмотрим полученную в примере 1 модель зависимости балансовой прибыли предприятия торговли Y (тыс. руб.) от следующих переменных:

Х₂ – фонд оплаты труда, тыс. руб.; Х₄ – объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Известно, что первая выборка значений переменных объемом п₁ = 12 получена при одних условиях, а другая, объемом п₂ = 12, - при несколько измененных условиях.

Задание: Проверить, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х ?

Решение.

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

В соответствии со схемой теста построим уравнения регрессии по первым наблюдениям п₁ = 12 наблюдениям. Результаты представлены в таблице 8.

Таблица 8

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1,02Е+09	5,1Е+08	11,9033	0,002967
Остаток		ЕSS1 = = 3,85Е+08	4,3Е+07
Итого		1,40Е+09

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по оставшимся п₁ = 12 наблюдениям, приведены в таблице 9.

Таблица 9.

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1,87Е+09	9,33Е+08	57,1758	7,6549Е-06
Остаток		ЕSS2 = = 1,47Е+08	1,63Е+07
Итого		2,01Е+09

Результаты регрессионного и дисперсионного анализа модели, построенной по всем п = п₁ + п₂ = 24 наблюдениям, представленным в таблице 3 (ЕSS = 6,39Е+08):

Рассчитаем статистику F по формуле:

Находим табличное значение F_расч = FРАСПОБР(0,05;1;18) = 3,15.

Так как, F_расч< F_табл, то справедлива гипотеза Н₀, т.е. надо использовать единую модель по всем наблюдениям.