Статистическое оценивание и прогноз

Рассмотрим несколько практических приложений теории вероятностей.

Как говорилось выше, с ростом числа испытаний данной серии частота появления события стремится к его вероятности. Значит, по известной вероятнос­ти можнопрогнозироватьчастотуповторения интере­сующего нас события в будущем. При этом вероятность может быть найдена любым из известных нам способов (в том числе оценена по уже имеющейся частоте).

Пример 1.При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракован­ных. Сколько бракованных деталей следует ожидать сре­ди 25 000 деталей?

По результатам контроля можно оценить вероятность события А={произведенная деталь бракованная}. Прибли­женно она будет равна его частоте:

Р(А)

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Пример 2. Население города Хабаровска составляет около 400 000 жителей. Сколько хабаровчан родились 29 февраля?

Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем кор­ректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года. Найдем вероятность того, что случайно выбранный хабаровчанин родился 29 февраля следовательно. Воспользуемся классическим определением вероятности:

=0,00068

Это значит, что среди 400 000 жителей Хабаровска следует ожидать около человек, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

На прогнозировании частоты основан один интерес­ный способ определения численности популяций, ис­пользуемый в биологии.

Пример 3.Из озера выловили 86 рыб, которых поме­тили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произве­ли повторный отлов — на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизи­тельно рыб живет в озере?

Решить задачу алгебраическими методами не возможно, однако методами теории вероятностей это сделать достаточно несложно.

В самом деле: обозначим не­известную нам численность рыб в озере через N. Всего помеченных рыб после первого отлова в озере стало 86. Тогда вероятность события А = {выловленная во второй раз рыба оказалась помеченной}, можно вычислить по формуле классической вероятности: . С другой стороны, относительная частота события А равна: W(A) = . Так как , имеем приближенное равенство: . Отсюда имеем: . Таким образом, основываясь на результатах проведенных испытаний, мы получили, что в озере приблизительно живет 1118 рыб.

Сравнивая вероятности всех возможных исходов испытания, можно предсказать, каким из них экспери­мент закончится скорее всего. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

Пример 4.Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

Используя алгоритм вычисления вероятности в КСИ можно найти вероятности появления всех возможных сумм при бросании двух игральных кубиков:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Так как вероятность выпадения суммы 7 на двух игральных кубиках самая большая, то при бросании двух игральных кубиков семь очков будет выпадать чаще, чем все остальные суммы.

Замечание. Рассмотренные примеры относятся к двум важнейшим типам статистических задач:

- оценка частоты появления события по известной вероятности;

- прогнозирование наиболее вероятного исхода данного испытания.

Рассмотрим теперь пример задачи, в которой по полученным в результате проведенного испытания данным нужно проверить правильность выдвинутой гипотезы.

Пример 5. В 10 бросаниях монеты было получено 9 «орлов». Следует ли считать монету правильной?

В условии задачи поставлена под сомнение гипотеза о правильности подбрасываемой монеты.

Если бы монета была правильной, т.е. выпадение «орла» и «решки» были бы равновозможными, то получить 9 или 10 «орлов» в 10 бросаниях можно было бы с вероятностью .

Значит, в результате опыта произошло очень редкое, маловероятное событие. В то же время, если предположить, что монета неправильная и вероятность выпадения «орла» на ней больше, чем , то произошедшее событие уже не будет таким невероятным. Это дает нам все основания считать, что монета несимметричная.

Замечание. Рассмотренная выше задача относится к широкому классу статистических задач по проверке статистических гипотез.