Дисперсия, ее виды и свойства

Вариация признака складывается под воздействием множества факторов, т.к. социально-экономические явления и процессы носят сложный характер. В исследованиях иногда возникает необходимость оценить не только общую вариацию признака, но и ту ее часть, которая обусловлена действием постоянных, стабильных, а не случайных факторов. В этих случаях рассчитывают три вида дисперсии:

- общую;

- межгрупповую;

- внутригрупповую.

Общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех факторов (условий, причин). Она рассчитывается по формуле 6.13:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru , (6.13)

где Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru − средняя по всей изучаемой совокупности.

Для определения влияния постоянного фактора на вариацию признака производят аналитическую группировку, в основании которой лежит данный фактор. Вариация, обусловленная фактором, положенным в основание группировки, оценивается с помощью межгрупповой дисперсии:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru , (6.14)

где Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru гр – средняя по отдельным группам;

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru − численность отдельных групп.

Для определения влияния случайных факторов рассчитывают дисперсию внутри каждой группы, т.е. внутригрупповую

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru , (6.15)

где xгр – индивидуальные значения признака в группе,

fгр – их частоты;

а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru

(6.16)

Доказано, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru

(6.17)

Это равенство называется правилом сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий получило широкое распространение на практике. На его основе вычисляется эмпирическое корреляционное отношение (коэффициент корреляционного отношения или эмпирический коэффициент корреляционного отношения):

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru принимает значение от 0 до 1.

Оно показывает тесноту связи между признаками (раздел 10).

Возведенное в квадрат эмпирическое корреляционное отношение представляет собой коэффициент детерминации ( Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru ), который характеризует долю общей колеблемости признака-результата, вызванную действием признака-фактора, положенного в основание группировки.

Наряду с вариацией количественного признака часто возникает необходимость измерить вариацию альтернативного признака.

Если ввести обозначения:

1 – наличие интересующего исследователя признака;

0 – отсутствие интересующего исследователя признака;

p – доля единиц, обладающих данным признаком;

q – доля единиц, не обладающих данным признаком,

то среднее значение альтернативного признака будет равно:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru

(6.18)

Тогда дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru . (6.19)

Учитывая, что 1− p = q

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru . (6.20)

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, которые им не обладают:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru либо Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru . (6.21)

Дисперсия облает рядом математических свойств, которые значительно упрощают её вычисление. К основным из них относятся следующие:

1. Если все значения признака увеличить или уменьшить в А раз, то дисперсия соответственно увеличится или уменьшится в Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru раз.

2. Если все значения признака увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число x0, то дисперсия от этого не изменится.

3. Если все значения частот различить или умножить на какое-то число b, то дисперсия от этого не изменится.

Используя эти свойства одновременно, можно рассчитать дисперсию по «способу моментов». Если взять за основу исходную формулу дисперсии

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru , (6.22)

то формула дисперсии, исчисляемой по «способу моментов», будет иметь вид:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru

(6.23)

Например, рассчитаем дисперсию выработки рабочих цеха № 2 по «способу моментов» (таблица 6.3).

Таблица 6.3 – Расчет дисперсии выработки по «способу моментов»

x f Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru b=5 Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru A=2 Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru
-4 -2 -2 -1 -2 -2
  Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru       Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru   Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru

Исходя из полученных данных:

Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru .

Таким образом, результат не зависит от применяемой формулы. В нашем примере (цех № 2) по всем формулам (6.3, 6.6, 6.23) получено одно и то же значение дисперсии Дисперсия, ее виды и свойства - student2.ru .

ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

7.1. Понятие выборочного наблюдения.

7.2. Обобщающие характеристики генеральной и выборочной совокупности.

7.3. Виды, способы и методы отбора единиц из генеральной в выборочную совокупность.

7.4. Ошибки выборочного наблюдения.

7.5. Определение численности выборки.

7.6. Малая выборка и сфера ее применения.

Наши рекомендации