Дополнительные сведения

Меры центральной тенденции

Существует три основные меры центральной тенденции распределения.

? Среднее значение (mean) равно сумме всех значений распределения, деленной
на их количество. Для распределения [3575689] среднее значение равно
(3 + 5 + 7 + 5 + 6 + 8 + 9)/7 - 6,14.

? Медиана (median) определяется как значение, находящееся в середине рас­
пределения, полученного из исходного путем упорядочивания по возраста­
нию. Для распределения [3 5 7 5 6 8 9J медиана равна 6, поскольку значение,
равное 6, находится в центре последовательности [3556789].

? Мода (mode) равна наиболее часто встречающемуся значению. В распре­
делении [3575689] мода равна 5, поскольку число 5 встречается в нем
дважды.

Меры изменчивости

Выделяют две величины, характеризующие изменчивость, или разброс, значений распределения относительно среднего.

^106____ Глава 7. Описательные статистиД

? Дисперсия (variance) равна сумме квадратов отклонений каждого значения
от среднего, деленной па N - 1, где N — число значений в распределении.
Для распределения [3575689] дисперсия равна ((3 - 6 14)² + (5 - 6Д4)² +
+ (7 - 6Д4)² + (5 - 6,14)2 + (6 - 6Д4)² + (8 - 6,14)2 + (9 - 6,14)²)/6 = 4,1429.

? Стандартное отклонение (standard deviation) равно квадратному корню
из дисперсии. Для распределения [3575689] стандартное отклонение
равно 2,0354.

Стандартное отклонение является довольно наглядной и информативной для исследователя характеристикой распределения, а дисперсия, как правило, исполь­зуется как вспомогательная величина в статистических вычислениях.

Характеристики диапазона распределения

Дополнительными мерами изменчивости являются 4 простые характеристики, отражающие границы распределения и его размах.

Минимум (minimum) равен наименьшему из значений распределения. Для рас­пределения [3575689] минимум равен 3.

Максимум (maximum) равен наибольшему из значений распределения. Для рас­пределения [3575689] максимум равен 9.

Размах (range) составляет разность между максимумом и минимумом распреде­ления. В случае распределения [3575689] размах равен 9-3 = 6.

Сумма (sum) равна сумме всех значений распределения. Для распределения [3575689] сумма равна 3 + 5 + 7 + 5 + 6 + 8 + 9 = 43.

Характеристики формы распределения

Для отражения близости формы распределения к нормальному виду существует две основные характеристики.

► Эксцесс (kurtosis) является мерой «сглаженности» («остро-» или «нлосковер-
шишюсти») распределения. Если значение эксцесса близко к 0, это означает,
что форма распределения близка к нормальному виду. Положительный экс­
цесс указывает на «плосковершииное» распределение, у которого максимум
вероятности выражен не столь ярко, как у нормального. Значения эксцесса,
превышающие 5,0, говорят о том, что по краям распределения находится боль­
ше значений, чем вокруг среднего. Отрицательный эксцесс, напротив, харак­
теризует «островершишюе» распределение, график которого более вытянут
по вертикальной оси, чем график нормального распределения. Считается, что
распределение с эксцессом в диапазоне от -1 до +1 примерно соответствует
нормальному виду. В большинстве случаев вполне допустимо считать нор­
мальным распределение с эксцессом, но модулю не превосходящим 2.

Пошаговый алгоритм вычислений _______________________ ¹⁰⁷

^. Асимметрия (skewness) показывает, в какую сторону относительно среднего сдвинуто большинство значений распределения. Нулевое значение асиммет­рии означает симметричность распределения относительно среднего значения, положительная асимметрия указывает па сдвиг распределения в сторону мень­ших значений, а отрицательная асимметрия — в сторону больших значений. В большинстве случаев за нормальное принимается распределение с асиммет­рией, лежащей в пределах от -1 до +1. В исследованиях, не требующих высо­кой точности результатов, нормальным считают распределение с асимметрией, но модулю не превосходящей 2.

Стандартная ошибка

Стандартная ошибка (standard error) является характеристикой точности, или стабильности, величины, для которой она вычисляется. В контексте программы SPSS стандартная ошибка используется для среднего значения, асимметрии и эксцесса. Ее смысл заключается в следующем. Вы можете, взяв определенное количество случайно выбранных значений генеральной совокупности, составить выборку и вычислить для нее среднее значение. Повторив эту операцию некото­рое количество раз, вы получите набор средних значений выборок, которые так­же представляют собой некоторое распределение. Стандартное отклонение этого распределения и будет являться стандартной ошибкой для среднего значения ге­неральной совокупности. Аналогичным способом вычисляются стандартные ошибки для асимметрии и эксцесса. Чем меньше значение стандартной ошибки, тем выше стабильность величины, для которой она вычисляется.

В мсто Analyze (Анализ) выберите команду Descriptive Statistics ► Descriptives (Описательные статистики ► Описательные статистики). На экране появится диа­логовое окно Descriptives (Описательные статистики),

Понятие корреляции

Корреляция, или коэффициент корреляции, — это статистический показатель ве­роятностной связи между двумя переменными, измеренными в количественной шкале. В отличие от функциональной связи, при которой каждому значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной, вероятностная связь характеризуется тем, что каждому значению одной перемен­ной соответствует множество значений другой переменной. Примером вероятно­стной связи является связь между ростом и весом людей. Ясно, что один и тот же рост может быть у людей разного веса, как и наоборот. Величина коэффици-

Понятие корреляции

_еНта корреляции меняется от --1 до 1. Крайние значения соответствуют линей­ной функциональной связи между двумя переменными, 0 - отсутствию связи.

Наглядное представление о связи двух переменных дает график двухмерного рас­сеивания - соответствующая команда Scatter (Рассеивание) имеется в меню Graphs (Графики). На таком графике каждый объект представляет собой точку, коорди-шты которой заданы значениями двух переменных. Таким образом, множество объектов представляет собой на графике множество точек. По конфигурации это­го множества точек можно судить о характере связи между двумя переменными.

Строгая положительная корреляция (perfect positive correlation) определяется значением г - 1. Термин «строгая» означает, что значения одной переменной од­нозначно определяются значениями другой переменной, а термин «положитель­ная» — что с возрастанием значений одной переменной значения другой пере­менной также возрастают.

Строгая корреляция является математической абстракцией и практически не встречается в реальных исследованиях. Примером строгой корреляции является соответствие между временем пути и пройденным расстоянием при неизменной скорости.

Положительная корреляция соответствует значениям 0 < г < 1. Положительную корреляцию следует интерпретировать следующим образом: если значения одной переменной возрастают, то значения другой имеют тенденцию к возрастанию. Чем коэффициент корреляции ближе к 1, тем сильнее эта тенденция, и обратно, с приближением коэффициента корреляции к 0 тенденция ослабевает.

Примером значительной положительной корреляции служит зависимость меж­ду ростом и весом человека. Считается, что в этом случае коэффициент корреля­ции равен г = 0,83. Слабая положительная корреляция (г = 0,12) наблюдается между способностью человека к сочувствию и реальной помощью, которую он оказывает нуждающимся людям.

Отсутствие корреляции (no correlation) определяется значением г = 0. Нулевой коэффициент корреляции говорит о том, что значения переменных никак не свя­заны друг с другом. Примером пары величин с нулевой корреляцией является рост человека и результат его IQ-теста.

Отрицательная корреляция соответствует значениям -1 < г < 0. Если значения одной переменной возрастают, то значения другой имеют тенденцию к убыванию. Чем коэффициент корреляции ближе к -1, тем сильнее эта тенденция, и обратно, с приближением коэффициента корреляции к 0 тенденция ослабевает.

Слабая отрицательная корреляция (г = -0,13) наблюдается между агрессивностью человека по отношению к своему другу и помощью, которую он ему оказывает. Чем агрессивней человек, тем помощь меньше, однако зависимость выражена слабо. Примером значительной отрицательной корреляции (г = -0,73) служит .зависимость между нервной возбудимостью человека и его эмоциональной урав­новешенностью. Чем выше оказывается результат его теста на возбудимость, тем более низкий результат имеет его тест на уравновешенность.

Строгая отрицательная корреляция (perfect negative correlation) определяется значением г = -1. Она, так же как и строгая положительная корреляция, являет­ся абстракцией и не находит отражения в практических исследованиях. Пример, иллюстрирующий строгую отрицательную корреляцию, можно взять из школь­ного учебника физики: при равномерном движении расстояние равно произведе­нию времени па скорость. При заданном расстоянии время и скорость являются обратно пропорциональными величинами: чтобы пройти путь за половину вре­мени, необходимо идти вдвое быстрее.

Дополнительные сведения