Теоретические сведения. Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными: , где у – зависимая переменная (результативный признак); - независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используют следующие функции:

- линейная -

- степенная - ;

- экспонента - ;

- гипербола - .

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК. Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применен метод определителей: ; ; …; , где определитель системы, _а, _b ;…; – частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе: t_y= , где стандартизованные переменные; - стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии ( - коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

где парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором, - коэффициенты межфакторной корреляции.

Связь коэффициентов множественной регрессии b_i со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением b_i = .

Параметр aопределяется как .

Коэффициенты «чистой» регрессии b_i несравнимы между собой. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Средние по совокупности коэффициенты эластичности для линейной множественной регрессии рассчитываются по формуле , при этом воздействие остальных факторов считается неизменным.

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула , где частное уравнение регрессии, т.е. уравнение регрессии, которое связывает результативный признак y с фактором x_i при закреплении факторов x₁, x₂,…, x_i-1, x_i+1,…,x_p на среднем уровне.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции , причем и (i=1,…,p).

Для уравнения в стандартизованном масштабе . При линейной зависимости R _{= ,} где определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, определитель матрицы межфакторной корреляции, т.е.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х_i при неизменном уровне других факторов можно определить по формулам: r или

r = .

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации, который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: . Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле , где n число наблюдений, m число факторов.

Средняя ошибка аппроксимации и оценка значимости уравнения множественной регрессии в целом определяется аналогично парной регрессии и корреляции.

Частный F – критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде фактическое значение частного F критерия для фактора x_i определится как .

Фактическое значение частного F-критерия сравнивается с табличным F_табл = F ( ;1; n – m – 1). Если , то дополнительное включение фактора x_i в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии b_i при факторе x_i статистически значим. Если , то нецелесообразно включение фактора x_i в модель.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t – критерия Стьюдента производится аналогично парной регрессии и корреляции, причем справедливо соотношение , а также , где средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b_i.

Постановка задачи

По 20 предприятиям региона (табл. 9) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в об­щей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 9

Номер предприятия	y	х1	x2	Номер предприятия	у	x1	x2
	7,0	3,9	10,0		9,0	6,0	21,0
	7,0	3,9	14,0		11,0	6,4	22,0
	7,0	3,7	15,0		9,0	6,8	22,0
	7,0	4,0	16,0		11,0	7,2	25,0
	7,0	3,8	17,0		12,0	8,0	28,0
	7,0	4,8	19,0		12,0	8,2	29,0
	8,0	5,4	19,0		12,0	8,1	30,0
	8,0	4,4	20,0		12,0	8,5	31,0
	8,0	5,3	20,0		14,0	9,6	32,0
	10,0	6,8	20,0		14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.