Тема 7. Системы линейных одновременных уравнений

Нередко при моделировании реальных экономических объектов для объяснения механизма их функционирования приходится строить систем уравнений, состоящую из тождеств и регрессионных уравнений. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по разному:

Возможна система независимых уравнении, когда каждая зависимая переменная (у) рассматривается как функция одного и того же набора объясняющих факторов (х₁, х₂, …х_т):

Каждое уравнение такой системы может рассматриваться самостоятельно, а для нахождения его параметров применяется метод наименьших квадратов.

Если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то можно построить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

Каждое уравнение такой системы также может рассматриваться самостоятельно, а его параметры оцениваются методом наименьших квадратов.

В системе линейных одновременных уравнений одни и те же переменные (у) одно­временно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других. Такая система уравнений называется структурной формой модели. Каждое уравнение в системе одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, поэтому метод наименьших квадратов для оценки параметров неприменим.

В общем случае структурная форма модели имеет вид:

Зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, называют­ся эндогенными переменными и обозначаются у.

Предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными переменными и обозначаются х.

Примером системы одновременных уравнений является модель спроса (Q^d) и пред­ложения (Q^s) когда спрос на товар определяется его ценой (Р) и доходом потребите­ля (I), предложение - его ценой (Р) и достигается равновесие между спросом и предло­жением:

Переменные формируют свои значения внутри модели, согласно уравнениям системы, и таким образом, являются эндогенными переменными. Переменная I полагается заданной, ее значения формируются вне модели, и она является экзогенной.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов в модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов модель преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где – коэффициенты приведенной формы модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной приходится сталкивать­ся с проблемой идентифицируемости модели. Идентифицируемость - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

∙ идентифицируемые;

∙ неидентифицируемые;

∙ сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом, по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два и более, значений одного структурного коэффициента.

Необходимое условие идентифицируемости:

D + 1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н – уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо,

где Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение.

Достаточное условие идентифицируемости:

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без единицы.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифициуемо. Если хотя бы одно из уравнений неидентифицируемо, то и вся модель считает­ся неидентифицируемой.

Рассмотрим ряд модификаций модели спроса-предложения.

1. Модель спроса-предложения с учетом тренда.

Если предположить изменение спроса со временем, то в первое уравнение системы необходимо добавить временной тренд:

Приведенная форма модели запишется в виде:

Система не оказывается идентифицируемой, поскольку параметр β₅ является сверхидентифицируемым. Чтобы это показать, запишем систему в следующем виде:

Легко заметить, что оценку β₅ можно получить двумя способами: как е/b и f/c.

2. Модель спроса-предложения с учетом налога.

Предположим, что продавцы товаров облагаются специальным налогом Т. Величина налога меняется со временем и представлена временным рядом. Тогда система уравнений запишется следующим образом:

­

В данном случае система является идентифицируемой, но если теперь предполо­жить, что доход I на протяжении длительного времени является постоянной величиной, то в уравнении спроса переменную I следует исключить.

Данная система уравнений уже не является идентифицируемой. Получить иденти­фицируемое уравнение формирования предложения можно, наложив ограничение на структурные коэффициенты: β₅ = -р. Смысл этого ограничения в том, что мы полагаем, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т.е. Р* = Р - Т.

Пример 6. Структурная форма модели имеет вид:

где:

C_t – личное потребление в период t,

S_t – зарплата в период t,

P_t – прибыль в период t,

R_t – общий доход в период t,

R_t-1 – общий доход в период t-1.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

Решение:

Модель представляет собой систему одновременных уравнений, состоящую из двух уравнений, которые необходимо проверить на идентифицируемость для определения способа оценки параметров, и тождества, параметры которого известны, поэтому необходимости в проверке его на идентифицируемость нет.

Модель включает три эндогенные переменные (C_t, S_t, R_t) и три экзогенные переменные (P_t, t в том числе одну лаговую переменную R_t-1)­.

Проверим уравнения модели на идентифицируемость.

1 уравнение. ­

Проверим выполнение необходимого условия идентифицируемости. Это уравнение включает две эндогенные переменные (C_t, S_t)и одну экзогенную переменную (P_t). Таким образом, Н = 2; число экзогенных переменных системы, не входящих в это уравнение, также равно двум D = 2. Получаем: D + 1 > Н, следовательно, первое уравнение сверх­идентифицируемо.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости:

Запишем матрицу коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), не входящих в первое уравнение (R_t, R_t-1, t):

Номер уравнения	Rt	Rt-1	t
	b21	b22	b23
	-1

Ее ранг равен 2, так как определитель квадратной подматрицы 2 х 2 этой матрицы не равен нулю:

и достаточное условие идентифицируемости выполняется

2 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (S_t, R_t) и две экзогенные пе­ременные (R_t-1, t). Таким образом, Н = 2; число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение, равно одному D = 1. Получаем: D + 1 = Н, и второе уравнение является точно идентифицируемым.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравне­ние (C_t, Р_t)

Номер уравнения	Сt	Рt
	-1	B12

Определитель этой матрицы не равен нулю, а ее ранг равен 2:

Таким образом, второе уравнение системы точно идентифицируемо. Но так как первое уравнение системы сверхидентифицируемо, то вся модель является сверхидентифицируемой.

Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Здесь v₁, v₂, и v₃ – случайные ошибки.

Поскольку модель является сверидентифицируемой, то для оценки параметров уравнений следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов.