Предел и непрерывность

Лекция 10. Функции нескольких переменных.

Цель: расширить понятие функции. Рассмотреть функцию двух переменных Z = f(x, y) как обобщение функции одной переменной, что позволяет использовать метод аналогий с функцией одной переменной. Подчеркнуть имеющие место существенные качественные различия, особенно в способах задания функции.

Центральным вопросом данной темы является построение эмпирических формул, используя метод наименьших квадратов (МНК),который имеет важное прикладное значение и широко используется в курсах «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Статистика» и других дисциплинах для построения, в частности, прогнозных моделей и выбора лучшей из них.

Задача:четко представлять отличие и подобие при изучении основных понятий функции двух переменных. Научиться оценивать параметры линейной функции при построении эмпирических формул.

Предел и непрерывность - student2.ru 10.1. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Способы задания.

10.2. Предел и непрерывность.

10.3. Частные производные и дифференциал.

10.4. Экстремум функции и его необходимое условие.

10.5. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов.

Функции нескольких переменных. Основные понятия.


Ранее рассматривалось понятие функции одной переменной y=f(x), когда изменение переменной y зависит от изменения лишь одной переменной. В практической деятельности, в том числе при исследовании экономических процессов, приходится сталкиваться с такими ситуациям, когда некоторая переменная величина (изучаемый экономический фактор) зависит одновременно от нескольких величин, изменяющихся одновременно и независимо друг от друга.

Например, S=Vt, давление Предел и непрерывность - student2.ru , объем пирамиды Предел и непрерывность - student2.ru , кинетическая энергия Предел и непрерывность - student2.ru , прибыль Предел и непрерывность - student2.ru , где Предел и непрерывность - student2.ru – стоимость сырья, Предел и непрерывность - student2.ru – транспортные расходы, Предел и непрерывность - student2.ru – налоговая ставка, Предел и непрерывность - student2.ru – временные затраты и т.п.

Предел и непрерывность - student2.ru Определение 1. Переменная z называется функцией n переменных x1, x2,…, xn, если каждой совокупности этих переменных (x1 ,x2…, xn) соответствует вполне определенное значение переменной z.

В этом случае записывают Предел и непрерывность - student2.ru

Переменные x1,x2,…, xn называются независимыми переменнымиили аргументами, z - зависимая переменная, f - символ означает закон соответствия.

Предел и непрерывность - student2.ru Определение 2. Множество совокупностей чисел ( x1 , x2 ,…, xn), при которых z принимает действительные значения, называется областью определения функции z.

Значение функции z при x1=x10, x2=x20,…,xn=xn0 называется частным значением функции и обозначается z0= f( x10 , x20 ,…, xn0) или

Предел и непрерывность - student2.ru z = z0

x1=x10, x2=x20,…,xn=xn0

Если переменная f зависит от двух переменных, то записывается в виде z = f(x,y).

Примеры. Найдите область определения функций.

1. Предел и непрерывность - student2.ru .

Область определения: Предел и непрерывность - student2.ru .

2. Предел и непрерывность - student2.ru

Область определения определяется неравенством x- y > 0 или y < 0.

Всякую пару чисел (x,y) можно рассматривать как координаты некоторой точки M(x,y),принадлежащей плоскости xOy. Поэтому функцию переменных z = f(x,y) понимают как функцию точки M(x,y) и записывают: z = f(M). Отсюда следует, что область определения функции двух переменных представляет множество точек плоскости xOy. В первом примере область определения Предел и непрерывность - student2.ru – есть вся неограниченная плоскость xOy; во втором примере неравенство y < x представляет Предел и непрерывность - student2.ru полуплоскость (множество точек, лежащих ниже прямой y=x, рис. 10.1).

Предел и непрерывность - student2.ru Для функции Предел и непрерывность - student2.ru область определения есть множество точек, определяемых неравенством Предел и непрерывность - student2.ru или Предел и непрерывность - student2.ru . Это неравенство определяет множество точек, лежащих ниже параболы Предел и непрерывность - student2.ru (рис.10.2).

Предел и непрерывность - student2.ru Аналогично функции двух переменных функцию трех переменных можно рассматривать как функцию трехмерной точки u = f(x,y,z) или

Предел и непрерывность - student2.ru u = f(M) .

В экономике достаточно часто используются производственные функции двух или более переменных: это функции, это функции, выражающие результат производственной деятельности от различных факторов x1,x2,.., xn.

Например, одна из таких функций двух переменных – функция Кобба-Дугласа:

Предел и непрерывность - student2.ru ,

где допустим z– произведенного продукта, x1 – затраты труда, х2 – объем производственных фондов, b0 , b1 , b2 – неотрицательные константы; при этом b1+b2=1.

Как и функции одной переменной, функции двух переменных можно задать различными способами:

а) аналитический способ – функция задается в виде формулы (примеры 1,2);

б) табличный способ. Находит частное применение в сложных расчетах на ЭВМ;

Предел и непрерывность - student2.ru y x x1 xi
y1 y2        
yk     zik  
.. ….  


в) графический способ;

г) в виде некоторого алгоритма.

Рассмотрим графический способ задания функции двух переменных. Пусть в трехмерной системе координат каждой паре чисел (х,у) на плоскости хОу – назовем эту плоскость плоскостью аргументов. Пусть область определения функции z = f(x,y) есть некоторая область D(рис.9.3)

Предел и непрерывность - student2.ru Выберем точку Мо(x0 , y0). Ей соответствует значение функции f0 = f (x0,y0) и точка P0(x0,y0,z0). Придавая независимым переменным (х,у) все значения из области D, каждый раз получаем точки Мi(xi , yi) и соответствующие им точки Pi(xi,yi,zi), где zi = f (xi, yi) тем самым опишется некоторая поверхность Предел и непрерывность - student2.ru , которая называется графиком функции z = f (x, y).

Итак, графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), связанных соотношением z = f (x, y).

Очевидно, это множество – есть некоторая поверхность, проекцией которой на плоскости хОу является область D.

Изучение функции z = f (x, y) по ее графику не всегда просто и не всегда возможно из-за трудностей построения графиков. Поэтому используют другие методы, в частности, метод поперечных сечений.

Предел и непрерывность - student2.ru Рассмотрим множество точек в области D, которым соответствует одно и то же значение функции z = h1 точки с аппликатой z = h1 лежат на поверхности Предел и непрерывность - student2.ru на одной и той же высоте относительно плоскости

Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru

 
  Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru

Рис. 10.3

аргументов. Они образуют некоторую линию, описываемую системой уравнений:

Предел и непрерывность - student2.ru z = f (x, y) (1) (рис 10.3)

z = h1

Предел и непрерывность - student2.ru число h1 называется уровнем.

Определение. Множество точек на плоскости, в которых значения функции одно и то же, называется линией уровня функции z = f (x, y).

Спроектировав линии уровня на плоскости хОу, получим на этой плоскости линии f (x, y)=h1 , которые являются топографической картой поверхности …(на этом принципе построения карты температур – изотермы, карты давлений – изобары и т.п.)

Среди функций двух переменных самыми простыми являются линейные функции. Их графиком являются плоскости.

Предел и непрерывность.

Большая часть анализа для функции одной переменной может быть перенесена на случай функции двух переменных.

Предел и непрерывность - student2.ru Определение. Окрестностью точки Мо (x0 , y0) называется круг радиуса Предел и непрерывность - student2.ru с центром в точке Мо (x0 , y0).

Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru Предел и непрерывность - student2.ru Точка М (x,y) - произвольная точка окрестности. В этом случае Предел и непрерывность - student2.ru , или Предел и непрерывность - student2.ru (рис.10.4)

Предел и непрерывность - student2.ru Определение. Число А называют пределом функции при (или в точке Мо (x0 , y0)),если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для точек М (x,y), отстоящих от точки Мо (x0 , y0) на расстояние меньшее, чем Предел и непрерывность - student2.ru , выполняется неравенство Предел и непрерывность - student2.ru .

В таком случае записывают:

Предел и непрерывность - student2.ru

При выполнении пределов функции двух и более переменных имеют место все свойства пределов функции одной переменной, но практическая реализация этих свойств значительно сложней.

Примеры.

Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru - неопределенность.

Введем переменную Предел и непрерывность - student2.ru . Очевидно, Предел и непрерывность - student2.ru при Предел и непрерывность - student2.ru и Предел и непрерывность - student2.ru . Тогда:

Предел и непрерывность - student2.ru

Пусть функция Предел и непрерывность - student2.ru определена в точке Мо(x0 , y0) и некоторой её окрестности. Если аргументы x0 и y0 получат приращения Предел и непрерывность - student2.ru и Предел и непрерывность - student2.ru , то функция получит полное приращение

Предел и непрерывность - student2.ru , где Предел и непрерывность - student2.ru ,

Предел и непрерывность - student2.ru

Предел и непрерывность - student2.ru Определение. Функция Предел и непрерывность - student2.ru называется непрерывной в точке Мо (x0 , y0), если при Предел и непрерывность - student2.ru и Предел и непрерывность - student2.ru предел приращения функции равен нулю, то есть

Предел и непрерывность - student2.ru (10.1)

Из равенства (10.1) вытекает Предел и непрерывность - student2.ru откуда, в свою очередь, получается Предел и непрерывность - student2.ru (10.2)

Из равенства (10.2) вытекает еще одно определение непрерывности функции в точке.

Предел и непрерывность - student2.ru Определение. Функция Предел и непрерывность - student2.ru называется непрерывной в точке Мо (x0 , y0), если:

1)она определена в точке Мо (x0 , y0);

2)имеет конечный предел при Предел и непрерывность - student2.ru и Предел и непрерывность - student2.ru ;

3)этот предел равен значению функции в точке Мо (x0 , y0).

Если в точке Мо (x0 , y0) условие непрерывности нарушено, то эта точка называется точкой разрыва функции Предел и непрерывность - student2.ru .

Примеры. Найти точки разрыва функций.

Аналогично функции одной переменной вводится понятие непрерывности функции двух переменных в области D: функция Предел и непрерывность - student2.ru называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Наши рекомендации