Частные уравнения регрессии. Частная корреляция

Уравнение линейной множественной регрессии yˆa b₁x₁b₂x₂...b_px_p характеризует совместное влияние факторов x₁,x₂,...,x_p на исследуемую пере-

менную y. Уравнение парной регрессии yˆ_{x i}aⁱbⁱx_i показывает зависи-

мость между y и xi при игнорировании остальных факторов. Коэффициент bⁱ на-ряду с влиянием фактора xi частично отражает влияние и остальных факторов.

Частные уравнения регрессии, характеризующие изолированное влияние одного из факторов хi на результативную переменную y при исключении влия-ния остальных факторов, включенных в уравнение регрессии, получаются из общего уравнения линейной множественной регрессии (3.6) при закреплении всех факторов кроме х_i на их среднем уровне:

a b₁x₁ b₂x₂... b_i1x_i1 b_i x_i b_i1x_i1... b_px_p,(i = 1, 2, …, p)

или

yˆx p

Ai

bi

xi,

(i = 1, 2, …, p)

(3.36)

i

и A ai.

где A a bx

b

x

... b

x

i 1

b

x

i 1

... b

p

x

p

i

1 1

i 1

i 1

i

На основе частных уравнений регрессии (3.36) определяют частные коэф-

фициенты эластичности

xi

Ý

b

, (i = 1, 2, …, p)

(3.37)

yˆx p

y xi

i

i

где b_i– коэффициенты регрессии для фактора х_i в уравнении множественной регрессии;yˆ_xin– значение результативного фактора, полученное из частного

уравнения регрессии при данном значении фактора х_i, Средние частные коэффициенты эластичности

				b			xi	. (i= 1,2, …,p)	(3.38)
Ý	yx
		i	yˆx p
			i
							i

показывают, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится ре-зультат у от своей величины при изменении фактора х на 1 % от своего значе-ния при неизменных значениях других факторов, и могут использоваться для выделения факторов, наиболее влияющих на результат.

Если факторы x_i,x_j находятся в корреляционной связи, то это влияет на

способность коэффициента парной корреляции

пень тесноты связи между переменными у и х_i. пользовать частные коэффициенты корреляции

r_yxiизолированно выявить сте-

В такой ситуации следует ис-r_yxip,характеризующие тесно-

ту связи между переменными у и х_i при исключении влияния остальных p– 1 фактора (при фиксированных значениях остальных факторов), определяемые соотношениями

ryx

p

qyi

,

(i = 1, 2, …, p)

(3.39)

qyy qii

i

где qyi,

qyyи qiiалгебраические дополнения

соответственно к элементам

ryx, ryy

и rx x матрицы

i

i i

ryy

ryx

ryx

...

ryxp

rx x

rx x

...

rx x

rx y

p

rx2 x1

rx2 x2...

q

rx2 y

rx2 xp

(3.40)

...

...

... ...

.

rx p x1

rx p x2...

rx p y

rx p x p

ryx pпроверяется также,

Значимость частных коэффициентов корреляции

i

как и значимость парного коэффициента корреляции (2.37), (2.38) с заменой числа наблюдений n на n′ =n–p+ 1, т. е. статистика

ε = σ2En,

t	ryx p	n p 1	(3.41)
i
1 r2yx p
		i

имеет t-распределение Стьюдента с n–p–1 степенями свободы. Если t>t_{1–α;n–p–1}, то коэффициент считается значимым.

В случае только двух факторов х1

и х2 формула (3.39) принимает вид

ryx x

ryx

ryx

rx x

.

(3.42)

(1

r 2

)(1

r 2

)

yx

x x

Существенность влияния корреляционной связи проанализируем на при-мере. Рассмотрим переменную у и два фактора х₁ и х₂, находящиеся в корреля-ционной связи, и предположим, что парные коэффициенты корреляции имеют

следующие значения r_yx1= 0,54,r_yx2= 0,1,r_x1x2= 0,6. Вычисления по формуле

(3.42) дают

ryx x			0,54 0,1 0,6				0,48		0,60;
				0,99 0,64
		(1	0,12 )(1 0,62 )
ryx x			0,1 0,54 0,6				0,224		0,33.
				0,78 0,64
		(1	0,542 )(1 0,62 )

Значения коэффициентов r_yx1 и r_yx1x2 близки между собой, а значения ко-эффициентов r_yx2 и r_yx2x1 отличаются по величине более, чем в три раза и име-

ют разные знаки.

Частные коэффициенты корреляции r_yxip позволяют ранжировать факторы

по степени влияния на результативный признак и находят применение в процеду-ре отбора факторов для включения их в уравнение регрессии (учитываются фак-торы, которым соответствуют значимые коэффициенты частной корреляции).