Решение типового примера
у=х3+9х2+15х-9
1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R
2) Найдем производную функции
y´=3x2+18x+15
3) Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.
3x2+18x+15=0, :/3
х2+6х+5=0
D=36-4·5=16; x1= ; x2=
Значит функция имеет две критические точки х1=-1, х2=-5.
4) Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы
![]() | ![]() | ||
+ – +
![]() |
–5 –1
т. max т. min
Определим знак производной на каждом интервале:
y´(0)=3·02+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+ ) производная функции положительная, значение функции возрастает.
y´(-2)=3·(-2)2+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5;-1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.
y´(-6)=3·(-6)2+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (- ;-5) производная функции положительная, значения функции возрастает.
Отсюда следует, что х1=-5 – точка максимума (max), х2=-1 – точка минимума (min).
5) Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:
y´´=6х+18
6х+18=0
6х=-18
х=-3 – критическая точка.
6)
Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Разобьем область определения на интервалы (-
;-3) и (-3;+
)
– +
–3 (т. перегиба)
Определим знак второй производной на каждом интервале:
y´´(0)=6·0+18=18>0;
y´´=6·(-4)+18=-6<0.
На промежутке (-3;+ ) – функция выпуклая; а на промежутке (-
;-3) – функция вогнутая, значит х=-3 – точка перегиба.
7) Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба
ymax=y(-5)=((-5)3+9(-5)2+15(-5)-9)=16
ymin=y(-1)=((-1)3+9(-1)2+15(-1)-9)=-16
yперегиба=y(-3)=((-3)3+9(-3)2+15(-3)-9)=0
8) Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований
у
![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
![]() |
0
-5 -3 -1 х
![]() |
![]() |
-16
Задание № 4
В задачах 41-50вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
41. а) ;
б) .
42. а) ;
б) .
43. а) ;
б) .
44. а) ;
б) .
45. а) ;
б) .
46. а) ;
б) .
47. а) ;
б) .
48. а) ;
б) .
49. а) ;
б) .
50. а) ;
б) .
Решение типового примера
1) Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
а)
Проверка дифференцированием:
б)
Применим подстановку
Проверка дифференцированием:
Используемые формулы:
Задание № 5
В задачах 51-60вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:
51. y=x2, y=49.
52. y=x3, y=8, x=0, x=2.
53. y=x2+1, x= - 2, x= 2.
54. y=x2, y=64.
55. y=x2+2, x=-2, x=2.
56. y=x3+1, y=9, x=0, x=2.
57. y=x2+1, y=26.
58. y=x2+3, x=-1, x=2.
59. y=x3+1, y=28, x=0, x=3.
60. y=x2+2, y=27.
Решение типового примера
Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:
, x=0, x=3 y
29
![]() |
2
0 3 x
Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий
;
;
;
Площадь фигуры
|
![Решение типового примера Решение типового примера - student2.ru](/images/statistika/reshenie-tipovogo-primera-792947-83.gif)
![Решение типового примера Решение типового примера - student2.ru](/images/statistika/reshenie-tipovogo-primera-792947-84.gif)
|
![Решение типового примера Решение типового примера - student2.ru](/images/statistika/reshenie-tipovogo-primera-792947-85.gif)
![Решение типового примера Решение типового примера - student2.ru](/images/statistika/reshenie-tipovogo-primera-792947-86.gif)
Ответ: площадь фигуры составляет
Используемые формулы: Ньютона-Лейбница
Задание № 6
В задачах 61-70найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка:
61. ;
62. ;
63. ;
64. ;
65. ;
66. ;
67. ;
68. ;
69. ;
70.