Приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики

Задача 1. Определить вероятность надежного электроснабжения потребителя при последовательном (рисунок 1.1) и параллельном (рисунок 1.2) соединении элементов сети. Вероятность безотказной работы первого элемента p1=0,85, второго p2=0,9, третьего p3=0,95.

Решение: Вероятность надежной работы схемы (рисунок 1.1) определяется по теореме умножения вероятностей. Потребитель будет надежно получать питание, когда работает и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3. События «надежная работа» и «отказ» являются противоположными и образуют полную группу событий.

Вероятность надежной работы схемы (рисунок 1.1)

P = p1p2p3 = 0,85 x 0,9 x 0,95 = 0,725.

Вероятность отказа схемы (рисунок 1)

Q = 1- P = 1- 0,725 = 0,275.

Вероятность отказа схемы (рисунок 1.2) определяется также по теореме умножения вероятностей. Схема (рисунок 1.2) откажет тогда, когда откажет и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3. Вероятность отказа первого элемента
q1 = 1 - p1, второго q2 = 1 - p2, третьего q3 = 1 - p3.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Рисунок 1.1- Вероятность отказа Рисунок 1.2- Вероятность отказа

Q = q1q2q3 = (1-p)(1-p2)(1-p3) = (1-0,85)(1-0,9)(1-0,95) = 0,00075.

Вероятность надёжной работы схемы (рисунок 2)

P = 1-Q = 1-0,00075.

Задача 2. К распределительному устройству подключено три потребителя с номинальной мощностью 20, 15 и 5 кВт. Вероятность включенного состояния потребителей равна Р1 = 0,6, Р2 = 0,7; Р3 = 0,5. Определить вероятность того, что нагрузка на распределительном устройстве составит 40 кВт.

Решение. Так как включение потребителей есть независимые события, для решения используем формулу (1.8). Тогда: Р(40 кВт) = Р1Р2Р3 = 0,6×0,7×0,5 = 0,21.

Задача 3.Партия транзисторов, среди которых 10% дефекта, поступает на проверку. Схема проверки такова: вероятность обнаружения ошибки 0,95, если она есть; 0,03 – если ее нет. Найти вероятность того, что исправленный транзистор будет признан дефектным.

Эксперимент: наудачу выбирается транзистор.

Решение: А = { транзистор будет признан дефектным}

Гипотеза: Н1 = {транзистор на самом деле дефектный} Р(Н1)=0,1

Н2 = {транзистор на самом деле недефектный} Р(Н2)=1-0,1=0,9

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н2)+Р(Н2)Р(А/Н2)=0,1⋅0,95+0,9⋅0,03=0,095+0,027=0,122

Задача 4.В распределительном пункте (РП) установлено пять автоматических выключателей. Нормальная работа потребителей обеспечивается при их исправном состоянии. При монтаже РП выключатели выбирались из партии объемом в 1000 штук, в которой было 950 исправных выключателей и 50 не исправных. Найти вероятность исправной работы РП.

Задача 5. Две цепи электроснабжения работают параллельно на общую нагрузку (рис. 1.3). Вероятность аварийного простоя одной цепи приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru , второй приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru . Принимая аварийные состояния цепей независимыми, определить вероятность аварийного простоя двухцепной электропередачи для двух случаев: а) отказ электропередачи происходит при отказе одной из цепей (любой);

 
  приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

б) отказ электропередачи происходит при отказе только обеих цепей.

Рис. 1.2. Схема питания

Решение. а) На основании теоремы сложения вероятностей (логическая схема «или»)

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru .

б) На основании теоремы умножения вероятностей (логическая схема «и»)

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Дополнение. Вероятность безаварийной работы:

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

 
  приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 6. Питание потребителя осуществляется по одной цепи, состоящей из кабельной линии, трансформатора, выключателя (рис. 1.4.). Вероятность безотказной работы за время t для этих элементов: приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru . Отказ любого элемента приводит к перерыву питания, причем отказы взаимно независимы. Найти вероятность безотказной работы передачи.

Рис. 1.3. Схема питания

Решение. Обозначим: приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru – безотказная работа линии, приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru – трансформатора, приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru – выключателя, А – всей системы. По теореме умножения для независимых событий

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Дополнение, Вероятность отказа этой системы:

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru Задача 7. Силовые трансформаторы изготавливаются тремя заводами, причем вероятность того, что трансформатор выпущен на первом заводе равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,5. Вероятности того, что при определённых условиях работы трансформатор сохранит работоспособность в течение 25 лет, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны: 0,9; 0,92; 0,808. Чему равна вероятность того, что поступивший для монтажа трансформатор сохранит работоспособность в течение 25 лет?

Решение. Этот трансформатор может оказаться с первого завода (событие приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru ), со второго ( приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru ), с третьего приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru Интересующее нас событие А имеет вероятность

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 8. Энергосистема ограничивает промышленное предприятие в потреблении электрической мощности. При этом в течение года возможны дефициты в 5, 10 и 15 МВт с вероятностями соответственно 0,001, 0,0004 и 0,0002. Определить математическое ожидание недоотпуска электроэнергии промышленному предприятию за год.

Решение.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru .

В году 8760 часов. приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 9.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 10.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 11.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 12.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 13.

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Задача 1

В цепь переменного тока напряжением U = 300 В, и частотой 50 Гц включена последовательно катушка с индуктивным сопротивлением
ХL =40 Ом и активным сопротивлением R= 30 Ом и конденсатор ёмкостью С = 400 мкФ. Определить ток, напряжение на катушке и конденсаторе, активную и реактивную мощности катушки и конденсатора и всей цепи.

Решение

 
  приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

1. Реактивное сопротивление конденсатора

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru Ом.

2. Комплексное сопротивление катушки

Zк = R + jXL = zке jφ = 30 + j40= 50e j53 Ом,

где zк — модуль комплексного сопротивления катушки, а j — аргумент, равный приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru .

3. Комплексное сопротивление всей цепи

Z = R + jXL – jXС = 30 + j40 – j8 = 30 + j32 = 44e j47 Ом,

где модуль комплексного сопротивления цепи приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru , а приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru .

4. Ток цепи, определяемый по закону. Ома

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru =6,8e-j47 А, φ=470.

5. Напряжения на участках цепи

Uк=I×Zк=6.8e-j47×50ej53=340ej6 В, φк =60;

UC=I×XCe-j90=6.8e-j47×8e-j90=54.4e-j137 B, φс=1370.

6. Мощности цепи:

реактивные: на катушке QL=I2×XL=6.82×40=1850 ВАр;

на конденсаторе QC=I2×XC=6.82×8=370 ВАp;

активная мощность выделяется только на активном сопротивлении катушки R

P=I2×R=6,82×30=1387 Вт;

полная мощность цепи (кажущаяся)

приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

или приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В·А.

Задача 2

В сеть переменного тока напряжением U = 250 В включена цепь, состоящая из двух параллельных ветвей с сопротивлениями R1 = 25 Ом, R2 = 10 Ом и XL = 7 Ом.

Определить показания измерительных приборов, полную и реактивную мощности цепи,

Решение

 
  приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

1. Комплексное сопротивление второй ветви

Z2 = R2 + jXL = 10 + j7 = 12,2e j35 Ом.

2. Комплексное сопротивление всей цепи

Z = приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru Ом.

3. Общий ток цепи

I = приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А, φ = - 240.

Ток первичной ветви I1 = приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А, φ1 = 00.

Ток вторичной ветви I2 = приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А, φ2 = - 350 .

Амперметр в общей ветви покажет 28 А, в первой ветви показания равны 10 А, а во второй — 21 А.

4. Ваттметр покажет суммарную активную мощность цепи

P = P1 + P2,

где P1 = I12×R1 = 102×25 = 2500 Вт,

P2 = I22×R2 = 212×10 = 4410 Вт,

P = 6910 Вт — показания ваттметра.

Реактивная мощность определяется только величиной XL и равна

QL = I22 × XL = 212 × 7 = 3087 ваp.

Полная мощность цепи: приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В·А.

Задача 3

В трёхфазную четырехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением UЛ = 220 В включены звездой сопротивлением RA = 6 Ом, RB = 7 Ом, RC = 9 Ом, XA = 7 Ом, XB = 6 Ом, XC = 11 Ом.

Определить фазные и линейные токи, ток нейтрального провода, мощности всей цепи и каждой фазы в отдельности.

 
  приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

Решение

1.Комплексные сопротивления фаз:

ZA=RA-jXA=6–j7=9ej49 Ом;

ZB=RB+jXB=7+j6=9e j41 Ом;

ZC=RC+jXC=9+j11=14e j51 Ом.

2.Фазные напряжения:

UФ= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В,

UA=127 B; UB=127ej120 B; UC=127e j120 B.

3.Фазные токи ( в “звезде” они же линейные).

IA= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А,

IB= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А,

IC = приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А.

4.Мощности фаз и всей цепи:

PA=I2A×RA=142×6=1176 Вт,

PB=I2B×RB=142×7=1372 Вт,

PC=I2C×RC=92×9=729 Вт,

QA1=I2A×XA=142×7=1372 ВАp,

QBl=I2B×XB=142×6=1176 ВАp,

QCl=I2C×XC=92×11=891 ВАp.

Активная мощность всей цепи P=PA+PB+PC=3277 Вт.

Реактивная мощность Q = –QA+QB+QC=695ВАр.

Полная мощность цепи S

S= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В·А.

Кажущаяся мощность фаз

SA1= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В·А — активно-емкостного характера;

SBl= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В·А — активно-индуктивного характера;

SCl= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru В·А — активно-индуктивного характера.

Задача 4

В трехфазную трехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением UЛ=120 В включены треугольником активные сопротивления RAB=5 Ом, RBC=9 Ом и RCA=12 Ом.

Определить фазные токи, активную мощность всей цепи и каждой фазы в отдельности.

Решение

1. Определим токи фаз, которые включены треугольником на линейные напряжения:

IAB= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А,

IBC= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А,

 
  приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru

ICA= приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики - student2.ru А.

2. Мощность всей цепи и в каждой фазе — чисто активная.

PAB=I2AB×RAB=242×5=2880 Вт,

PBC=I2BC×RBC=13.32×9=1599,2 Вт,

PCA=I2CA×RCA=102×12=1200 Вт,

S=P=PAB+PBC+PCA=5679,2 Вт.

Наши рекомендации